نابرابری گرانوال

نابرابری گرانوال که در ریاضیات به آن لم گرانوال یا نابرابری گرانوال- بلمن گفته می‌شود، این امکان را می‌دهد که یک تابع که نابرابری دیفرانسیلی یا نابرابری انتگرالی خاصی را ارضا می‌کند، به وسیلهٔ تابع پاسخ معادلهٔ دیفرانسیل و یا معادلهٔ انتگرالی متناظر محدود کنیم. نابرابری گرانوال ابزار مهمی برای رسیدن به تخمین‌های مناسب در نظریهٔ معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل تصادفی است. فرم دیفرانسیلی این نابرابری در سال ۱۹۱۹[۱] توسط گرانوال و فرم انتگرالی آن در سال ۱۹۴۳ توسط ریچارد بلمن به اثبات رسید.[۲]

لم گرانوالویرایش

فرض کنید تابع   یک تابع حقیقی‌مقدار و پیوسته باشد که در نابرابری   صدق می‌کند،و هم‌چنین

 

باشد، که   و   و   ثوابت مثبت باشند، آنگاه برای   داریم:

 

اثباتویرایش

فرض کنید برای تمام   داریم:   ، حال   و   است برای تمام   . از قضیه‌ی اساسی حسابان نتیجه می‌شود که:

 

آنگاه نتیجه می‌شود که :

 

برای تمام   . و این رابطه برابر است با:

 

یا

 

یا

 

که برای تمام   نتیجه می‌شود که  [۳]

منابعویرایش

  1. Gronwall, Thomas H. (1919), "Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations", Ann. of Math., 20 (2): 292–296, JFM 47.0399.02, JSTOR 1967124, MR 1502565
  2. Bellman, Richard (1943), "The stability of solutions of linear differential equations", Duke Math. J., 10 (4): 643–647, doi:10.1215/s0012-7094-43-01059-2, MR 0009408, Zbl 0061.18502
  3. Lawrence Perko، Differential Equations and Dynamical Systems، 80.