باز کردن منو اصلی

در نظریه اعداد، قضیه اعداد اول (به انگلیسی: Prime Number Theorem) (PNT) توزیع مجانبی اعداد اول بین اعداد صحیح مثبت را توصیف می کند. این قضیه ایده شهودی کم شدن چگالی اعداد اول در اعداد صحیح بزرگ را به صورت صوری و دقیق تر بیان می کند. قضیه اعداد اول به صورت مستقل و جداگانه توسط ژاک آدامار و چارلز پوسین در ۱۸۹۶ با استفاده از ایده های معرفی شده از سوی برنارد ریمان (بخصوص تابع زتای ریمان) اثبات شد.

اولین توزیع اینچنینی که پیدا شد بود که در آن تابع شمارنده تعداد اعداد اول و لگاریتم طبیعی عدد است. بدین معنی که با بزرگ شدن به میزان کافی، احتمال این که یک عدد صحیح تصادفی کوچکتر مساوی اول باشد بسیار به نزدیک است. بنابراین، احتمال اول بودن یک عدد صحیح با حداکثر رقم (برای های به اندازه کافی بزرگ) حدوداً نصف عدد صحیح تصادفی با حداکثر رقم است. به عنوان مثال، در میان اعداد صحیح مثبت با حداکثر ۱۰۰۰ رقم، حدود یک عدد از هر ۲۳۰۰ تا اول است ()، در حالی که در میان اعداد صحیح با حداکثر ۲۰۰۰ رقم، حدود یکی از هر ۴۶۰۰ تا اول هستند (). به بیان دیگر، میانگین شکاف بین اعداد اول پشت سر هم در میان عدد صحیح (از یک تا ) حدود است. [۱]

قضیهویرایش

اگر  تعداد اعداد اول کمتر از   باشد

آنگاه

 

بررسی قضیهویرایش

       
۱۰ ۴ ۰٫۹۲۱ ۲٫۵۰۰
102 ۲۵ ۱٫۱۵۱ ۴٫۰۰۰
103 ۱۶۸ ۱٫۱۶۱ ۵٫۹۵۲
104 ۱٬۲۲۹ ۱٫۱۳۲ ۸٫۱۳۷
105 ۹٬۵۹۲ ۱٫۱۰۴ ۱۰٫۴۲۵
106 ۷۸٬۴۹۸ ۱٫۰۸۴ ۱۲٫۷۴۰
107 ۶۶۴٬۵۷۹ ۱٫۰۷۱ ۱۵٫۰۴۷
108 ۵٬۷۶۱٬۴۵۵ ۱٫۰۶۱ ۱۷٫۳۵۷
109 ۵۰٬۸۴۷٬۵۳۴ ۱٫۰۵۴ ۱۹٫۶۶۷
1010 ۴۵۵٬۰۵۲٬۵۱۱ ۱٫۰۴۸ ۲۱٫۹۷۵
OEIS A006880 A057835

تعمیم قضیهویرایش

با استفاده از قضیه اعداد اول می توان اثبات کرد که:

 

که در آن تابع   ، تابع مولد اعداد اول باشد یعنی: x امین عدد اول  

اثبات تعمیم قضیهویرایش

می دانیم:

 

 

می دانیم توابع   و   معکوس هم هستند. یعنی:

 

در نتیجه می توان با حل معادله   تابع   را یافت.

می دانیم  

پس با حل معادله   می توان هم ارزی برای   یافت.

به روش تکرار ساده معادله را حل میکنیم.

 

 

 

اما باید توجه داشت چون به جای   از تابع هم ارز آن استفاده شده پس:

 

در نتیجه:

 


منابعویرایش

  1. Hoffman, Paul (1998). The Man Who Loved Only Numbers. New York: Hyperion Books. p. 227. ISBN 978-0-7868-8406-3. MR 1666054.