نظریه تحلیلی اعداد

در ریاضیات، نظریهٔ تحلیلی اعداد (به انگلیسی: Analytic Number Theory) شاخه‌ای از ریاضیات است که از روش‌های آنالیز ریاضی برای حل مسائل مربوط به اعداد صحیح بهره می‌برد. اغلب گفته می‌شود که این شاخه با کارهای پیتر گوستاو لژیونه دیریکله در ۱۸۳۷ و با معرفی L-توابع دیریکله شروع شده‌است. او از این توابع برای ارائه اولین اثبات قضیه دیریکله روی تصاعدهای حسابی سود جست. معروف‌ترین نتیجه در این شاخه، نتایج و بحث‌هایی است که در ارتباط با اعداد اول (مثل قضیه اعداد اول و تابع زتای ریمان) و نظریه جمعی اعداد (مثل حدس گلدباخ و مسئله وارینگ) مطرح شده‌اند.

تابع زتای ریمان $\zeta (s)$ در صفحه مختلط. رنگ نقطه s، نشانگر مقدار $\zeta (s)$ است: رنگ‌های نزدیک به سیاه نشانگر مقادیر نزدیک به صفر اند، در حالی که فام نشانگر آرگومان مقدار مورد نظر است.

شاخه‌های نظریهٔ تحلیلی اعداد

نظریهٔ تحلیلی اعداد را می‌توان به دو بخش عمده تقسیم‌بندی کرد که این تقسیم‌بندی بر اساس سرشت مسائلی هست که هر بخش با آن درگیر است و فنونی که در هر بخش استفاده می‌شود با دیگری لزوماً تفاوت بنیادینی ندارند:

• نظریه ضربی اعداد با توزیع اعداد اول سروکار دارد، مثل تخمین تعداد اعداد اول موجود در یک بازه خاص. مباحثی مثل قضیه اعداد اول و قضیه دیریکله روی اعداد اول یک دنباله حسابی در این دسته قرار می‌گیرند.
• نظریه جمعی اعداد که دغدغه فهم ساختار جمعی اعداد صحیح را دارد. مباحثی چون حدس گلدباخ که می‌گوید هر عدد زوج بزرگتر از ۲ را می‌توان به صورت جمع دو عدد اول نوشت در این قسمت قرار می‌گیرند. یکی از نتایج اصلی نظریه جمعی اعداد مسئله وارینگ است.

منابع

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
• Davenport, Harold (2000), Multiplicative number theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 74 (3rd revised ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95097-6, MR 1790423
• Tenenbaum, Gérald (1995), Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, Cambridge studies in advanced mathematics, vol. 46, Cambridge University Press, ISBN 0-521-41261-7

برای مطالعه بیشتر

• Ayoub, Introduction to the Analytic Theory of Numbers
• H. L. Montgomery and R. C. Vaughan, Multiplicative Number Theory I: Classical Theory
• H. Iwaniec and E. Kowalski, Analytic Number Theory.
• D. J. Newman, Analytic number theory, Springer, 1998

در موضوعات خاص و تخصصی تر، کتابهای زیر شناخته و معروف تر شده‌اند:

• Titchmarsh, Edward Charles (1986), The Theory of the Riemann Zeta Function (2nd ed.), Oxford University Press
• H. Halberstam and H. E. Richert, Sieve Methods
• R. C. Vaughan, The Hardy–Littlewood method, 2nd. edn.

برخی از موضوعات هنوز به‌طور عمیق وارد کتاب‌ها نشده‌است. برخی ازین موضوعات شامل موارد زیر اند:

1. حدس ارتباط جفت‌های مونتگومری و کارهایی که از آن نشأت گرفته‌اند.
2. نتایج جدید گولدستون (Goldston)، پینتز (Pintz) و ییلیدریم (Yildrim) در مورد اعداد اول دوقلو و شکاف‌های کوچک بین اعداد اول
3. قضیه گرین-تائو که نشان می‌دهد تصاعدهای به اندازه دلخواه بزرگ اعداد اول وجود دارند.