عدد اول مرسن: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
جز ویکی‌سازی رباتیک(۷.۵) >کامپیوترهای شخصی، چاق و لاغر، عدد طبیعی، مربع کامل، اعداد فرد، بخش پذیر، [[حاصل... |
|||
خط ۳:
== اثبات چند قضیه کاربردی در این رابطه ==
'''قضیه اول:''' اگر <math>M_n</math> اول باشد، <math>n</math> نیز باید خود اول باشد.
خط ۹:
<math>2^n-1=2^{rs}-1=(2^r)^s-1=(2^r-1)(\cdots)</math>
پس اگر <math>s</math> زوج باشد، طبق اتحاد مزدوج و اگر فرد باشد طبق اتحاد [[چاق و لاغر]] ([[لاگرانژ]]) به عوامل اول تجزیه می‌شود و اول نیست؛ پس به تناقض می‌رسیم و فرض خلف باطل است. پس <math>n</math> باید اول باشد.
=== اعداد مرسن واعداد کامل(تام) ===
بدیهی است که اعداد مرسن در مبنای دو به صورت <math>((100\cdots0)-1)_2</math> می‌باشد که برابر <math>(11\cdots1)_2</math> است (<math>p</math>تا یک).
خط ۲۸:
ابتدا سه قضیه زیر را مطرح می‌کنیم:
# اگر <math>n\equiv3</math> به پیمانه ۴ و <math>n</math> عدد اول باشد، در این صورت <math>2n+1 | Mn</math>، اگر <math>2n+1</math> اول باشد.
# همچنین این درست است که عوامل اول <math>2^p-1</math> باید شکل <math>2kp+1</math> داشته باشند که <math>k</math> یک عدد مثبت [[عدد طبیعی|طبیعی]] است و در عین حال شکل <math>8n+1</math> یا <math>8n-1</math> را داشته باشد (آسپنسکی و هیسلت ۱۹۳۹).
سطر ۳۴ ⟵ ۳۳:
=== آیا [[عدد کامل]] فرد وجود دارد؟ ===
می‌دانیم تمام اعداد کامل به صورت [[حاصل ضرب]] یک عدد اول مرسن توانی از دو می‌باشند؛ اما در مورد [[اعداد فرد]] کامل چه نظریه‌ای وجود دارد؟
اگر این چنین عددی وجود داشته باشد در این صورت، به صورت حاصل ضرب یک [[مربع کامل]] در یک عدد اول به توان فرد می‌باشد، این عدد حداقل هشت عامل اول دارد و حداقل بر ۳۷ عدد اول [[بخش پذیر]] است (لزومی ندارد که متمایز باشند)؛ این عدد حداقل در مبنای اعشاری ۳۰۰ رقم دارد؛ و یک [[مقسوم علیه اول]] بزرگ تر از ۱۰۲۰ دارد.
=== آیا تعداد اعداد مرسن بی نهایت است؟ ===
سطر ۴۱ ⟵ ۴۰:
=== آیا تعداد اعداد مرسن مرکب بی نهایت است؟ ===
'''نظریه اولر:''' اگر <math>k>1</math> باشد و <math>p = 4k+3</math> اول باشد، در این صورت <math>p^2|2^p-1</math> نیز اول است، اگر و تنها اگر
همچنین اگر <math>p = 4k+3</math> باشد و <math>p^2|2^p-1</math>اول باشد، در این صورت عدد مرسن <math>p^2|2^p-1</math> مرکب است (این حدس احتمالاً منطقی است از آن جایی که تعداد اعداد اولی که به ازای <math>p</math> به صورت <math>2p+1</math> باشد، [[بی نهایت]] است{{مدرک}}).
=== حدس جدید در بارهٔ اعداد مرسن ===
بیتمن، سلفریج و واگستاف [[حدس]] زیر را زده‌اند:
فرض کنیم <math>p</math> هر [[عدد طبیعی]] فرد باشد؛ در این صورت اگر دو شرط اول -که در زیر آمده است- برقرار باشد، گزاره سوم برقرار خواهد بود:
# <math>p=2^k+/-1</math>,<math>p=4^k+/-3</math>
# <math>p=2^k-1</math
# <math>\frac{2^p+1}{3}</math> عددی اول است.
توجه داشته باشید که این حدس چگونه به حدس قبلی وابسته‌است.
این سؤال بیشتر از این که یک حدس باشد، از دسته سؤال‌های جواب داده نشده‌است.
به راحتی می‌توان نشان داد که اگر مربع عدد اول <math>p</math> بر یک عدد مرسن تقسیم شود، در این صورت <math>p</math> یک عدد اول ویفریچ است و این اعداد کمیاب هستند! فقط دو عدد شناخته شده‌اند که زیر 4,000,000,000,000 هستند و هیچ کدام از این مربع‌ها بر یک عدد مرسن بخش پذیر نیستند.
[[پرونده:Mersenne.JPG|
اگر دنباله‌ای به این صورت باشد که <math>A_p=2^{A_p}-1</math> و <math>A_0=2</math> آیا همه این دنباله اول هستند؟
سطر ۷۵ ⟵ ۷۳:
C4 = 170141183460469231731687303715884105737 (اول)
51217599719369681879879723386331576246^10 <
به نظر می‌آید احتمال این موضوع خیلی کم باشد که A5 (یا چند عدد بزرگ تر از این دنباله) اول باشدبدون شک این مثال دیگری از «قانون قوی عددهای کوچک» Guy، است. دقت کنید که اگر در این دنباله یک [[عدد مرکب]] پیدا شود، طبق نظریه اول، تمام اعداد بعدی مرکب خواهند بود.
== تاریخچه ==
درسال 1963 کشف شد که 1-11213^2 اول است، و این به وسیله بسته‌های پستی مخصوص ساخته شده با مُهرِ فرستاده شده از ''یوبرانا، ایلینیوس'' اعلام شد.
یک شبکه تحقیقاتی توزیع شده در اینترنت توسط ''ولتمن'' به پا شده است که به GIMPS( Great Internet Mersenne Prime Search) معروف است و و داوطلبان بیشمار آن، از [[کامپیوترهای شخصی]] خود برای انجام دادن قسمت‌های مختلفی از تحقیقات استفاده می‌کنند. در 17 نوامبر 2003، یکی از داوطلبان [[GIMPS]] کشف چهلمین عدد مرسن را گزارش داد و این موضوع، پس از آن تأیید شد. شش ماه پس از آن، کشف چهل و یکمین عدد مرسن توسط یکی از داوطلبان این شبکه به ثبت رسید. عدد بعدی مرسن در این سری نیز در 18 فوریه 2005 اعلام شد. تلاش‌های داوطلبان GIMP، این پروژه محاسباتی توزیع شده را تبدیل به کاشف هشت عدد بزرگ تر اعداد مرسن نمود. در واقعیت، تا فوریه همین سال، شرکت کنندگان GIMPS، تمام توان‌های قبل از 9,889,900 را امتحان کردند و حتی دو بار چک کردند و همه توان‌های پایین تر از 15,130,000 را دست کم یک بار امتحان کردند.
== پیوند به بیرون ==
* [http://mathworld.wolfram.com/MersenneNumber.html بیشتر بدانید]
* [http://primes.utm.edu/mersenne/ سایت اعداد اول]
* [http://www.isthe.com/chongo/tech/math/prime/mersenne.html /تمام مرسنها با ارقام
== منابع ==
{{پانویس}}
{{چپچین}}
* Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. 1: Divisibility and Primality. New York: Dover, p. 13, 2005.
* Eddington, W. "Will Eddington's Mersenne Page." http://www.garlic.com/~wedgingt/mersenne.html.
سطر ۱۰۱ ⟵ ۹۹:
* Sloane, N. J. A. Sequences A000225/M2655, A001265, A005420/M2609, A007524/M2196, A034887, A046051, A049479, and A114475 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."
* Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, pp. 23-24, 1999.
{{پایان
[[رده:اعداد مرسن]]
[[رده:دنباله اعداد صحیح]]
[[رده:مسئله‌های حل‌نشده در ریاضیات]]
[[رده:ویکی‌سازی رباتیک]]
| |||