نظریه مجموعه‌ها: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
جز ←لید |
|||
خط ۱۵:
{{اصلی| مجموعه‌ها (ریاضیات)| جبر مجموعه ها}}
نظریه مجموعه‌ها با یک [[رابطه دودویی]] اصلی بین یک شی {{math|''o''}} و یک مجموعه {{math|''A''}} آغاز می‌شود. اگر {{math|''o''}} یک [[عضو]] (یا '"عنصر"') {{math|''A''}} باشد، بنویسید {{math|''o'' ∈ ''A''}}. چون مجموعه‌ها خود اشیاء هستند، رابطه عضویت نیز می‌تواند مرتبط باشد.
یک [[رابطه دودویی]] برگرفته بین مجموعه‌ها رابطه زیرمجموعه‌ای است، که '''شمول مجموعه''' نیز نامیده می‌شود. اگر همه اعضای {{math|''A''}} اعضای {{math|''B''}} نیز باشند، {{math|''A''}} زیر مجموعه {{math|''B''}} است، که {{math|''A'' ⊆ ''B''}} نمادگذاری می‌شود. برای مثال، {{
همانند [[حسابان]] که [[عملیات دودویی]] را روی [[اعداد]] پیاده‌سازی می‌کند، نظریه مجموعه‌ها نیز عملیات دودویی را روی مجموعه‌ها اعمال می‌کند.
* '''[[اجتماع (مجموعه)|اجتماع]]''' مجموعه‌های {{math|''A''}} و {{math|''B''}}، مجموعه {{math|''A'' ∪ ''B''}}، مجموعه تمام اشیایی است که یا عضو {{math|''A''}} هستند، یا عضو {{math|''B''}} و یا عضو هردو. اجتماع {{
* '''[[اشتراک]]''' مجموعه‌های {{math|''A''}} و {{math|''B''}}، مجموعه {{math|''A'' ∩ ''B''}} مجموعه تمام اشیایی است که هم عضو {{math|''A''}} و هم عضو {{math|''B''}} هستند. اشتراک {{math|{۱, ۲, ۳}}} و {{math|{۲, ۳, ۴}}} مجموعه {{math|{۲, ۳}}} است.
* '''[[تفاضل]]''' مجموعه‌های {{math|''U''}} و {{math|''A''}}، مجموعه {{math|''U'' \ ''A''}}، مجموعه تمام اعضایی است که عضو {{math|''U''}} هستند ولی عضو {{math|''A''}} نیستند. تفاضل {{math|{۱٬۲٬۳} \ {۲٬۳٬۴}}} مجموعه {{math|{۱}}} است؛ و برعکس تفاضل {{math|{۲٬۳٬۴} \ {۱٬۲٬۳}}} مجموعه {{math|{۴}}} است. وقتی که {{math|''A''}} زیر مجموعه {{math|''U''}} است، تفاضل {{math|''U'' \ ''A''}} '''[[متمم (نظریه مجموعه‌ها)|متمم]]''' {{math|''A''}} در {{math|''U''}} نیز خوانده می‌شود. در این مورد، اگر انتخاب {{math|''U''}} از متن معلوم باشد، نماد {{math|''A''<sup>''c''</sup>}} بعضی اوقات به جای {{math|''U'' \ ''A''}} استفاده می‌شود، مخصوصاً وقتی {{math|''U''}} مانند مطالعه [[نمودار ون]] [[مجموعه جهانی]] باشد.
* '''[[تفاضل متقارن]]''' مجموعه‌های {{math|''A''}} و {{math|''B''}}، مجموعه {{math|''A'' △ ''B''}} یا {{math|''A'' ⊖ ''B''}}، مجموعه تمام اشیایی است که عضو دقیقاً یکی از مجموعه‌های {{math|''A''}} و {{math|''B''}} باشد. (اعضایی که در یکی از مجموعه‌ها هستند، نه در هر دو). برای مثال، برای مجموعه‌های {{
* '''[[ضرب دکارتی]]''' {{math|''A''}} و {{math|''B''}}، مجموعه {{math|''A'' × ''B''}} مجموعه‌ای است که اعضایش تمام [[زوج مرتب]]های ممکن {{math|(''a'',''b'')}} است که {{math|''a''}} عضوی از {{math|''A''}} و {{math|''b''}} عضوی از {{math|''B''}} است. ضرب دکارتی {{nowrap|1={۱, ۲} و {red, white} می‌شود {(red,1), (red, 2), (white, 1), (white, 2)}.}}
* '''[[مجموعه توانی]]''' یک مجموعه {{math|''A''}} مجموعه تمام زیر مجموعه‌های {{math|''A''}} است. برای مثال مجموعه توانی {{
برخی از مجموعه‌هایی که در کانون اهمیت قرار دارند، [[مجموعه تهی]]، مجموعه [[اعداد طبیعی]] و مجموعه [[اعداد حقیقی]] هستند.
| |||