فازور: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
جزبدون خلاصۀ ویرایش برچسب‌ها: متن دارای ویکی‌متن نامتناظر ویرایشگر دیداری |
جز ویرایش به‌وسیلهٔ ابرابزار: |
||
خط ۴:
== تعریف فازور ==
می‌دانیم که طبق [[فرمول اویلر]] برای توابع نمایی با توان موهومی محض داریم:
:<math>A\cdot \cos(\omega t + \theta) = A \cdot \frac{e^{i(\omega t + \theta)} + e^{-i(\omega t + \theta)}}{2},</math>
در نتیجه می‌توان نوشت:
:<math>
خط ۱۹:
\end{align}
</math>
هر عبارت مثلثاتی را می‌توان به صورت بخش حقیقی یا موهومی مجموع چند عبارت نمایی با توان موهومی محض نوشت. هر سیگنال سینوسی متغیر با زمان را می‌توان با فازور متناظر با آن سیگنال به‌طور یکتا تعیین کرد. طبق تعریف عبارت
می‌توان این‌گونه تصور کرد که در [[صفحهٔ مختلط]] فازور A∠θ یک بردار با اندازهٔ A است که در لحظهٔ t=۰ با محور حقیقی زاویهٔ θ را می‌سازد و در حال چرخش با [[سرعت زاویه‌ای]] ω حول مبدأ مختصات است.
از دیدگاهی دیگر می‌توان گفت که هر سیگنال سینوسی با استفاده از سه کمیت A، ω و θ به صورت یکتا تعیین می‌شود. فازور A∠θ دو کمیت A و θ را مشخص می‌کند.
خط ۲۵:
== خواص فازورها ==
== ضرب فازور در عدد ثابت ==
با ضرب فازور
:<math>
\begin{align}
خط ۳۳:
\end{align}
</math>
== جمع فازورها ==
برای محاسبهٔ حاصل جمع دو یا چند سیگنال سینوسی با فرکانس برابر می‌توان به جای استفاده از بسطهای مثلثاتی و محاسبات طولانی مربوط به این کار، فازورهای متناظر با این سیگنالها را باهم جمع کرد. یعنی:
سطر ۵۲ ⟵ ۵۳:
\theta_3 = \arctan{\left(\frac{A_1 \sin{\theta_1} + A_2 \sin{\theta_2}}{A_1 \cos{\theta_1} + A_2 \cos{\theta_2}}\right)}
</math>
== مشتق‌گیری و انتگرالگیری از فازورها ==
از [[حساب دیفرانسیل و انتگرال]] (calculus) می‌دانیم که مشتق هر سیگنال سینوسی متغیر با زمان با فرکانس ω برابر یک سیگنال سینوسی است که فاز آن با۹۰ درجه جمع شده و دامنهٔ آن در ω ضرب شده‌است. با استفاده از فازورها می‌توان این حقیقت را به شکل زیباتر و کاربردی‌تری نمایش داد.
سطر ۶۳ ⟵ ۶۵:
\end{align}
</math>
از آنجا که عمل انتگرالگیری عکس عمل [[
با استفاده از این حقیقت می‌توان برخی [[معادلات دیفرانسیل]] با شرایط اولیهٔ خاص را به [[معادلات جبری]] در حوزهٔ فازور تبدیل و حل کرد.
سطر ۱۱۱ ⟵ ۱۱۳:
== فازورها در تحلیل مدارهای RLC ==
مشخصه ولتاژ-جریان یک مقاومت خطی است؛ یعنی ولتاژ آن ضریبی از جریان آن است. همچنین بین رابطهٔ ولتاژ و جریان سلف و خازن رابطه‌ای دیفرانسیلی است (ولتاژ سلف با مشتق جریان آن و جریان خازن با مشتق ولتاژ آن متناسب است). برای تحلیل یک مدار RLC با استفاده از [[قوانین کیرشهف]] و روش‌های تحلیل مش و گره برای هر ولتاژ یا جریان مربوط به یک شاخه یا مش خاص به یک [[معادلهٔ دیفرانسیل]] خطی مرتبهٔ nام می‌رسیم. حل مدار با استفاده از این روش بسیار طولانی و طاقت فرسا است. می‌توان با [[فرض صفر]] بودن ولتاژ اولیهٔ خازن‌ها و جریان اولیه سلف‌ها و سینوسی بودن منابع، از فازورها برای حل دقیق مدار استفاده کرد. اگر شرایط اولیهٔ سلف‌ها یا خازن‌ها غیر صفر باشد ولی منبع سینوسی باشد. آنگاه می‌توان با تحلیل فازوری پاسخ دائمی مدار را به دست آورد، ولی دربارهٔ پاسخ گذرای آن نمی‌توان اظهار نظر کرد.
با استفاده از فازورها می‌توان [[قانون اهم]] را که در حوزهٔ زمان فقط دربارهٔ مقاومتها برقرار است در حوزهٔ فازور علاوه بر مقاومتها برای سلف‌ها و خازن‌ها نیز نوشت. بدین ترتیب ما در حوزهٔ فازور به جای مقاومت، مفهوم امپدانس (با کمی اغماض مقاومت مختلط) را تعریف می‌کنیم. امپدانس مفهومی بسیار وسیع تر و کاربردی‌تر از مقاومت است. طبق تعریف امپدانس یک المان برابر نسبت فازور ولتاژ آن المان به فازور جریانش است. برای مقاومت، سلف و خازن خطی
<math>\ Z_R = R</math>
سطر ۱۲۵ ⟵ ۱۲۶:
:<math>\ Z_C = \frac{1}{j\omega C},</math>
در حالت کلی می‌توان امپدانس معادل یک شبکهٔ متشکل از مقاومت، خازن و سلف خطی
=== اتصال سری و موازی امپدانس‌ها ===
با استفاده از قوانین کیرشهف به راحتی می‌توان امپدانس معادل حاصل از بستن سری یا موازی چند امپدانس را به دست آورد. در اینجا ما فرمول امپدانس معادل برای دو امپدانس را
▲با استفاده از قوانین کیرشهف به راحتی می‌توان امپدانس معادل حاصل از بستن سری یا موازی چند امپدانس را به دست آورد. در اینجا ما فرمول امپدانس معادل برای دو امپدانس را می‌آوریم. ولی به راحتی می‌توان این فرمول‌ها را به n امپدانس تعمیم داد.
فرض کنید دو امپدانس <math> Z_1 </math> و <math>Z_2</math> به صورت سری بسته شده باشد آنگاه امپدانس معادل دیده شده از دو سر برابر است با:
خط ۱۳۹:
=== تابع تبدیل شبکه ===
برای هر متغیر شبکه (ولتاژ یا جریان یک المان خاص) تابع تبدیل شبکه در حالت فازوری به صورت نسبت فازور خروجی (ولتاژ یا جریان آن المان) به فازور ورودی تعریف می‌شود یعنی:
| |||