یعنی <math>r</math> مضربی مشترک از <math>a_1,a_2,...,a_n</math> است. در نتیجه اگر <math>r>0</math>، آنگاه <math>r \ge [a_1,a_2,...,a_n]</math>، که با نابرابری سمت راست (۱) تناقض دارد بنابراین <math>r=0</math> و <math>k|[a_1,a_2,...,a_n]</math>
== محاسبه ک.م.م. ==
برای محاسبه ک.م.م. می‌توان همه اعداد را به عوامل اول تجزیه کرد. ک.م.م. برابر حاصل ضرب عوامل مشترک با توان بزرگتر و عوامل غیر مشترک می‌شود. همچنین می‌توان ک.م.م. را به کمک ب.م.م. تعریف نمود: از آنجا که ب م م دو عدد برابر با حاصل ضرب آنها تقسیم بر ک.م.م. آنها است،<ref>{{cite journal |last=Slavin |first=Keith R. |title=Q-Binomials and the Greatest Common Divisor |journal=INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory |volume=8 |pages=A5 |publisher=[[University of West Georgia]], [[Charles University in Prague]] |year=2008 |url=http://www.integers-ejcnt.org/vol8.html |access-date=2008-05-26}}</ref> ک.م.م. دو عدد برابر با حاصل ضرب آنها تقسیم بر [[بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک|ب.م. م]] آنهاست:
از آنجا که ب.م.م. دو عدد شمارنده هر دو است،<ref name=":0">{{Cite web|date=2020-03-25|title=Comprehensive List of Algebra Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/|access-date=2020-08-30|website=Math Vault|language=en-US}}</ref><ref name="Long 1972 33">{{harvtxt|Long|1972|p=33}}</ref><ref name="Pettofrezzo 1970 34">{{harvtxt|Pettofrezzo|Byrkit|1970|p=34}}</ref> بهتر است اول تقسیم و سپاس ضرب کرد که بدین ترتیب ک.م.م. به این شکل تعریف خواهد شد:
