پیش‌نویس:توابع وابسته لژاندر

در ریاضیات، چندجمله ای های وابسته لژاندر جواب های متعارف:

${\displaystyle }$با

از معادله زیر موسوم به معادله لژاندر هستند:

${\displaystyle }$با

که در آن شاخص ℓ و m (که اعداد صحیح هستند) به عنوان مرتبه و درجه چند جمله ای لژاندر وابسته می باشند. این معادله دارای جواب های غیر صفر است و تنها در صورتی در [1, 1−] غیر منفردند که ℓ و m اعداد صحیح با شرط 0 ≤ |m| ≤ |ℓ| باشند. هنگامی که شاخص m زوج باشد، این تابع یک چند جمله ای است. هنگامی که m برابر صفر و ℓ مقداری صحیح باشد، این توابع با چندجمله ای های لژاندر معادلند. به طور کلی هرگاه ℓ و m اعداد صحیح هستند، راه حل ها معمولا به عنوان "چندجمله ای های لژاندر وابسته" خوانده میشود، حتی  زمانی که m مقداری فرد بوده و معادله یک چندجمله ای  نباشد. به طور کلی رده عمومی این توابع با مقادیر واقعی یا مرکب دلخواه از  ℓ و m  توابع لژاندر هستند. در این حالت پارامترها معمولا با حروف یونانی برچسب گذاری می شوند.

معادله دیفرانسیل معمولی لژاندر اغلب  در فیزیک و سایر زمینه های فنی کاربرد دارد، به ویژه در زمان حل معادله لاپلاس (و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی وابسته) در مختصات کروی. توابع وابسته لژاندر نقشی حیاتی در تعریف هماهنگ های کروی دارد.

تعریف برای پارامترهای صحیح و غیر منفی ℓ و m

این توابع به صورت $P_{\ell }^{m}(x)$ که در آن بالانویس نشان دهنده ترتیب تابع است، و نه توان P. در تعریف دقیق تر، آنها تعیین کننده مرتبه مشتق چندجمله‌ای‌های لژاندر هستند. (m ≥ 0)

$P_{\ell }^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}\left(P_{\ell }(x)\right)$,

 توابع توصیف شده در این معادله با مقادیر مشخص شده از پارامترهای ℓ و m معادله دیفرانسیل عمومی لژاندر را برآورده می کنند. پاسخ معادله لژاندر Pℓ با تفکیک m به شرح زیر است :

$(1-x^{2}){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}P_{\ell }(x)-2x{\frac {d}{dx}}P_{\ell }(x)+\ell (\ell +1)P_{\ell }(x)=0.$

علاوه بر این، بر طبق فرمول رودریگز داریم:

$P_{\ell }(x)={\frac {1}{2^{\ell }\,\ell !}}\ {\frac {d^{\ell }}{dx^{\ell }}}\left[(x^{2}-1)^{\ell }\right],$

که Pmℓ را میتوان به صورت زیر تعریف کرد:

$P_{\ell }^{m}(x)={\frac {(-1)^{m}}{2^{\ell }\ell !}}(1-x^{2})^{m/2}\ {\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell }.$

این معادله گستره m را به −ℓ ≤ m ≤ ℓ محدود می کند. طبق تعریف P_ℓ^±m، حاصل عبارت فوق با جایگزینی ±m، متناسب است. ضمن اینکه ضرایب توان در دو طرف معادله باید برابر باشد.

${\frac {d^{\ell -m}}{dx^{\ell -m}}}(x^{2}-1)^{\ell }=c_{lm}(1-x^{2})^{m}{\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell },$

که از آن نتیجه می دهد ثابت تناسب برابر است با

$c_{lm}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}},$

بطوری که

$P_{\ell }^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}(x).$

نمادگذاری جایگزین

 نمادگذاری زیر نیز در نوشته ها استفاده می شود:

$P_{\ell m}(x)=(-1)^{m}P_{\ell }^{m}(x)$

تعامد

با فرض 0 ≤ m ≤ ℓ، این توابع شرط تعامد را به ازای مقدار ثابت m برآورده میکنند:

$\int _{-1}^{1}P_{k}^{m}P_{\ell }^{m}dx={\frac {2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}}\ \delta _{k,\ell }$

که در آن δ_k, ℓ همان تابع دلتای کرونیکر است.

همچنین، این توابع شرط تعامد را به ازای مقدار ثابت ℓ نیز برآورده میکنند:

$\int _{-1}^{1}{\frac {P_{\ell }^{m}P_{\ell }^{n}}{1-x^{2}}}dx={\begin{cases}0&{\mbox{if }}m\neq n\\{\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}&{\mbox{if }}m=n\neq 0\\\infty &{\mbox{if }}m=n=0\end{cases}}$

مقادیر منفی m و/یا ℓ

این معادله دیفرانسیل نسبت به تغییر علامت m کاملا ناوردا است.

این توابع برای مقادیر منفی m همانگونه که در بالا نشان داده شدبرابر با مقادیر مثبت m هستند:

$P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}$

(این رابطه حاصل تعریف فرمول رودریگز است. این تعریف همچنین نشان میدهد که روابط بازگشتی مختلف برای مقادیر مثبت یا منفی m برقرار است.)

${\textrm {If}}\quad {\mid }m{\mid }>\ell \,\quad \mathrm {then} \quad P_{\ell }^{m}=0.\,$

این معادله دیفرانسیل همچنین تحت تغییر از ℓ تا −ℓ − 1 ناوردا است، و تابع برای مقادیر منفی ℓ به صورت زیر تعریف می شود

$P_{-\ell }^{m}=P_{\ell -1}^{m},\ (\ell =1,\,2,\,...)$.

پاریته

طبق تعریف تایید میشود که توابع وابسته لژاندر هم زوج یا فرد میشوند، بطوری که

$P_{\ell }^{m}(-x)=(-1)^{\ell +m}P_{\ell }^{m}(x)$

 چند گزینه نخست از توابع وابسته لژاندر

توابع وابسته لژاندر به ازای m = 0

توابع وابسته لژاندر به ازای m = 1

توابع وابسته لژاندر به ازای m = 2

چند گزینه اول از توابع وابسته لژاندر، که شمال مقادیر منفی m نیز می باشند، عبارتند از:

$P_{0}^{0}(x)=1$

$P_{1}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}P_{1}^{1}(x)$

$P_{1}^{0}(x)=x$

$P_{1}^{1}(x)=-(1-x^{2})^{1/2}$

$P_{2}^{-2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{24}}\end{matrix}}P_{2}^{2}(x)$

$P_{2}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}P_{2}^{1}(x)$

$P_{2}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)$

$P_{2}^{1}(x)=-3x(1-x^{2})^{1/2}$

$P_{2}^{2}(x)=3(1-x^{2})$

$P_{3}^{-3}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{720}}\end{matrix}}P_{3}^{3}(x)$

$P_{3}^{-2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{120}}\end{matrix}}P_{3}^{2}(x)$

$P_{3}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{12}}\end{matrix}}P_{3}^{1}(x)$

$P_{3}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)$

$P_{3}^{1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}(5x^{2}-1)(1-x^{2})^{1/2}$

$P_{3}^{2}(x)=15x(1-x^{2})$

$P_{3}^{3}(x)=-15(1-x^{2})^{3/2}$

$P_{4}^{-4}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{40320}}\end{matrix}}P_{4}^{4}(x)$

$P_{4}^{-3}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{5040}}\end{matrix}}P_{4}^{3}(x)$

$P_{4}^{-2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{360}}\end{matrix}}P_{4}^{2}(x)$

$P_{4}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{20}}\end{matrix}}P_{4}^{1}(x)$

$P_{4}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)$

$P_{4}^{1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {5}{2}}\end{matrix}}(7x^{3}-3x)(1-x^{2})^{1/2}$

$P_{4}^{2}(x)={\begin{matrix}{\frac {15}{2}}\end{matrix}}(7x^{2}-1)(1-x^{2})$

$P_{4}^{3}(x)=-105x(1-x^{2})^{3/2}$

$P_{4}^{4}(x)=105(1-x^{2})^{2}$

رابطه بازگشتی

این توابع دارای تعدادی روابط بازگشتی اند:

$(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)=(2\ell +1)xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)$

$2mxP_{\ell }^{m}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}\left[P_{\ell }^{m+1}(x)+(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)\right]$

${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2m}}\left[P_{\ell -1}^{m+1}(x)+(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]$

${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2m}}\left[P_{\ell +1}^{m+1}(x)+(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)\right]$

${\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)-(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]$

${\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[-P_{\ell +1}^{m+1}(x)+P_{\ell -1}^{m+1}(x)\right]$

${\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m)xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)$

${\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)-(\ell +m+1)xP_{\ell }^{m}(x)$

${\sqrt {1-x^{2}}}{\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\frac {1}{2}}\left[(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)-P_{\ell }^{m+1}(x)\right]$

$(1-x^{2}){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[(\ell +1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)-\ell (\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)\right]$

$(x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\ell }xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)$

$(x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)=-(\ell +1)xP_{\ell }^{m}(x)+(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)$

$(x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)+mxP_{\ell }^{m}(x)$

$(x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)=-(\ell +m)(\ell -m+1){\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m-1}(x)-mxP_{\ell }^{m}(x)$

اولین روابط بازگشتی:

$P_{\ell +1}^{\ell +1}(x)=-(2\ell +1){\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{\ell }(x)$

$P_{\ell }^{\ell }(x)=(-1)^{\ell }(2\ell -1)!!(1-x^{2})^{(\ell /2)}$

$P_{\ell +1}^{\ell }(x)=x(2\ell +1)P_{\ell }^{\ell }(x)$

 پارامتربندی زاویه ای

این توابع زمانی که متغیر از نوع زاویه ای لحاظ میشود بسیار مفیدند، مانند $x=\cos \theta$:

$P_{\ell }^{m}(\cos \theta )=(-1)^{m}(\sin \theta )^{m}\ {\frac {d^{m}}{d(\cos \theta )^{m}}}\left(P_{\ell }(\cos \theta )\right)\,$

با استفاده از رابطه $(1-x^{2})^{1/2}=\sin \theta$، چند نمونه از لیست ذکر شده در بالا، به عنوان اولین چند جمله ای های وابسته لژاندر بصورت زیر تبدیل می شوند:

${\begin{aligned}P_{0}^{0}(\cos \theta )&=1\\[8pt]P_{1}^{0}(\cos \theta )&=\cos \theta \\[8pt]P_{1}^{1}(\cos \theta )&=-\sin \theta \\[8pt]P_{2}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(3\cos ^{2}\theta -1)\\[8pt]P_{2}^{1}(\cos \theta )&=-3\cos \theta \sin \theta \\[8pt]P_{2}^{2}(\cos \theta )&=3\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(5\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\[8pt]P_{3}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {3}{2}}(5\cos ^{2}\theta -1)\sin \theta \\[8pt]P_{3}^{2}(\cos \theta )&=15\cos \theta \sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{3}(\cos \theta )&=-15\sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{8}}(35\cos ^{4}\theta -30\cos ^{2}\theta +3)\\[8pt]P_{4}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {5}{2}}(7\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\sin \theta \\[8pt]P_{4}^{2}(\cos \theta )&={\tfrac {15}{2}}(7\cos ^{2}\theta -1)\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{4}^{3}(\cos \theta )&=-105\cos \theta \sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{4}(\cos \theta )&=105\sin ^{4}\theta \end{aligned}}$

روابط متعامدی که در بالا ذکر شد، در این فرمول آمده است: برای مقدار ثابت m، $P_{\ell }^{m}(\cos \theta )$ به ازای پارامتر θ  در بازه $[0,\pi ]$$\sin \theta$:

$\int _{0}^{\pi }P_{k}^{m}(\cos \theta )P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\,\sin \theta \,d\theta ={\frac {2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}}\ \delta _{k,\ell }$

همچنین، به ازای ℓ ثابت:

$\int _{0}^{\pi }P_{\ell }^{m}(\cos \theta )P_{\ell }^{n}(\cos \theta )\csc \theta \,d\theta ={\begin{cases}0&{\text{if }}m\neq n\\{\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}&{\text{if }}m=n\neq 0\\\infty &{\text{if }}m=n=0\end{cases}}$

در ازای θ، $P_{\ell }^{m}(\cos \theta )$ جواب های معادله زیر است

${\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {dy}{d\theta }}+\left[\lambda -{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\,y=0\,$

به عبارت دقیق تر، با توجه به صحیح بودن m$\geq$0، معادله فوق تنها زمانی دارای پاسخ های نامعمول خواهد بود که رابطه $\lambda =\ell (\ell +1)\,$ برای هر ℓ صحیح بزرگتر از m صدق کند، و این پاسخ ها متناسبند با $P_{\ell }^{m}(\cos \theta )$.