گروه کاکسیتر

در ریاضیات، گروه کاکسیتر (به انگلیسی: Coxeter Group)، که به نام اچ. اس. ام. کاکسیتر نامگذاری شده، گروه مجردی است که می‌توان آن را برحسب انعکاس‌ها به‌طور صوری توصیف نمود. در حقیقت، گروه‌های کاکسیتر متناهی، دقیقاً همان گروه‌های انعکاسی اقلیدسی متناهی هستند؛ مثالی از این گروه‌ها، گروه‌های تقارنی مربوط به چندوجهی‌های منتظم اند. با این حال، تمام گروه‌های کاکسیتر متناهی نیستند، همچنین تمام آن‌هارا نمی‌توان برحسب تقارن‌ها و انعکاس‌های اقلیدسی توصیف نمود. گروه‌های کاکسیتر در ۱۹۳۴ میلادی به عنوان تجریدهایی از گروه‌های انعکاسی معرفی شدند (Coxeter 1934). همچنین رده‌بندی گروه‌های کاکسیتر متناهی در ۱۹۳۵ میلادی صورت پذیرفت (Coxeter 1935).

گروه‌های کاکسیتر در بسیاری از شاخه‌های ریاضیاتی کاربرد داد. مثال‌هایی از گروه‌های کاکسیتر متناهی شامل گروه‌های تقارنی پلیتوپ‌های منظم، و گروه‌های ویل از جبرهای لی ساده می‌باشد. مثال‌هایی از گروه‌های کاکسیتر نامتناهی شامل این موارد اند: گروه‌های مثلثی متناظر با مفروش‌سازی‌های منظم از صفحه اقلیدسی و صفحه هذلولوی و همچنین گروه‌های ویل از جبرهای کک-مودی بی‌نهایت بعدی.

مراجع استاندارد شامل (Humphreys 1992) و (Davis 2007) می‌باشند.

منابع

• Björner, Anders; Brenti, Francesco (2005), Combinatorics of Coxeter Groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 231, Springer, ISBN 978-3-540-27596-1, Zbl 1110.05001
• Bourbaki, Nicolas (2002), Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 4–6, Elements of Mathematics, Springer, ISBN 978-3-540-42650-9, Zbl 0983.17001
• Coxeter, H. S. M. (1934), "Discrete groups generated by reflections", Annals of Mathematics, 35 (3): 588–621, CiteSeerX 10.1.1.128.471, doi:10.2307/1968753, JSTOR 1968753
• Coxeter, H. S. M. (1935), "The complete enumeration of finite groups of the form $r_{i}^{2}=(r_{i}r_{j})^{k_{ij}}=1$", J. London Math. Soc., 1, 10 (1): 21–25, doi:10.1112/jlms/s1-10.37.21
• Davis, Michael W. (2007), The Geometry and Topology of Coxeter Groups (PDF), ISBN 978-0-691-13138-2, Zbl 1142.20020
• Grove, Larry C.; Benson, Clark T. (1985), Finite Reflection Groups, Graduate texts in mathematics, vol. 99, Springer, ISBN 978-0-387-96082-1
• Hall, Brian C. (2015), Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3-319-13466-6
• Humphreys, James E. (1992) [1990], Reflection Groups and Coxeter Groups, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 29, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43613-7, Zbl 0725.20028
• Kane, Richard (2001), Reflection Groups and Invariant Theory, CMS Books in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-98979-2, Zbl 0986.20038
• Hiller, Howard (1982), Geometry of Coxeter groups, Research Notes in Mathematics, vol. 54, Pitman, ISBN 978-0-273-08517-1, Zbl 0483.57002
• Ihara, S.; Yokonuma, Takeo (1965), "On the second cohomology groups (Schur-multipliers) of finite reflection groups" (PDF), J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. 1, 11: 155–171, Zbl 0136.28802, archived from the original (PDF) on 2013-10-23
• Howlett, Robert B. (1988), "On the Schur Multipliers of Coxeter Groups", J. London Math. Soc., 2, 38 (2): 263–276, doi:10.1112/jlms/s2-38.2.263, Zbl 0627.20019
• Vinberg, Ernest B. (1984), "Absence of crystallographic groups of reflections in Lobachevski spaces of large dimension", Trudy Moskov. Mat. Obshch., 47
• Yokonuma, Takeo (1965), "On the second cohomology groups (Schur-multipliers) of infinite discrete reflection groups", J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. 1, 11: 173–186, hdl:2261/6049, Zbl 0136.28803

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Coxeter Group». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۷ ژوئن ۲۰۲۱.