تابع مرومورف

در آنالیز مختلط، تابع مرومورف (به انگلیسی: Meromorphic function) (مشتق شده از یونانی "meros"، به معنی جزء در برابر "holos"به معنی کل می‌آید)، روی یک زیرمجموعه باز D از صفحه مختلط، تابعی است که روی تمام D به جز نقاط تکین خود هولومورف باشد. به این نقاط تکین، قطب‌های تابع گویند. این چنین توابع را گاهی توابع منظم یا روی D منظم ‌گویند. هر تابع مرومورف روی D را می توان به صورت نسبت دو تابع هولومورف (با مخرجی که ثابت 0 نباشد) روی D بیان کرد. بنابراین قطب‌ها در صفرهای مخرج روی می دهند. پس یک تابع مرومورف، ذاتاً نسبت دو تابع هولومورف است. چنین تابعی به جز در نقاطی که مخرج تابع صفر است و مقدار تابع بینهایت خواهد شد، همچنان هولومورف باقی می‌ماند. از دید جبری اگر D همبند باشد، آنگاه مجموعهٔ توابع مرومورف، میدان کسرهای حوزه صحیحی از مجموعهٔ توابع هولومورف است. این قایل قیاس با رابطهٔ بین $\mathbb {Q}$، اعداد گویا، و $\mathbb {Z}$، اعداد صحیح است.

خواص

از آنجا که قطب‌های تابع مرومورف منزوی اند، حداکثر تعدادشان شماراست. مجموعه قطب‌ها ممکن است همچون تابع زیر نامتناهی باشد:

$f(z)=\csc z={\frac {1}{\sin z}}.$

با استفاده از ادامه تحلیلی جهت حذف تکینگی‌های برداشتنی، می توان توابع مرومورف را با هم جمع، تفریق یا ضرب کرد. دو تابع مرومورف را می توان بر هم تقسیم کرد مگر این که مخرج روی مؤلفه همبندی از دامنه صفر شود. ازین رو، اگر D مجموعه همبندی باشد، توابع مرومورف روی آن تشکیل میدانی داده که توسیع میدانی از اعداد مختلط اند.

مثال‌ها

• تمام توابع گویا، مثل:

$f(z)={\frac {z^{3}-2z+10}{z^{5}+3z-1}},$

روی کل صفحه مختلط مرومورف می باشند.

• توابع:

$f(z)={\frac {e^{z}}{z}}\quad$ و $\quad f(z)={\frac {\sin {z}}{(z-1)^{2}}}$

به علاوه تابع گاما و تابع زتای ریمان، روی کل صفحه مختلط مرومورف اند.

• تابع:

$f(z)=e^{\frac {1}{z}}$

روی کل صفحه مختلط بجز مبدأ مختصات تعریف شده. با این حال، 0 قطبی برای این تابع نیست، بلکه یک نقطه تکین اساسی است. ازین رو، این تابع در کل صفحه مختلط مرومورف نیست. با این حال، روی $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ مرومورف (و حتی هولومورف) است.

• تابع لگاریتم مختلط:

$f(z)=\ln(z)$

روی کل صفحه مختلط مرومورف نیست، چرا که نمی توان آن را با مستثنی کردن تنها مجموعه ای از نقاط منزوی (ایزوله) بر روی کل صفحه مختلط تعریف کرد.

• تابع:

$f(z)=\csc {\frac {1}{z}}={\frac {1}{\sin \left({\frac {1}{z}}\right)}}$

روی کل صفحه مختلط مرومورف نیست، چرا که $z=0$ نقطه انباشتگی قطب‌ها بوده و ازین رو یک نقطه تکین تلقی نمی گردد.

• تابع:

$f(z)=\sin {\frac {1}{z}}$

نیز مرومورف نیست، چرا که دارای نقطه تکین اساسی در 0 است.

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Meromorphic Function». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۳ آوریل ۲۰۲۱.