تبدیل هنکل

تبدیل هنکل (به انگلیسی: Hankel transform) در ریاضیات یک تبدیل انتگرالی است که اولین بار توسط هرمن هنکل، ریاضی‌دان آلمانی مطرح شد. این تبدیل با نام تبدیل فوریه-بسل نیز شناخته شده‌است.

تبدیل هنکل تبدیلی است که تابع $f(r)$ را به صورت یک مجموع وزن‌دار از بی‌نهایت تابع بسل نوع اول $J_{\nu }(kr)$ در نظر می‌گیرد. توابع بسل به‌کار رفته در این مجموع، همگی از مرتبه $\nu$ هستند اما در عامل اندازه $k$ در محور $r$ متفاوت‌اند. ضریب ضروری $F_{v}$ برای هر تابع بسل در عبارت مجموع، که تابعی از عامل اندازه یا همان $k$ است، تابع تبدیل‌شده را تشکیل می‌دهد.

تعریف ویرایش

تابع هنکل مرتبه $\nu$ برای تابع $f(r)$ به صورت زیر تعریف می‌شود:

$F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)\,r\operatorname {d} \!r$

که در آن $J_{\nu }$ تابع بسل نوع اول از مرتبه $\nu$ است با شرط $\nu \geq -1/2$ .

معکوس ویرایش

معکوس تبدیل هنکل تابع $F_{\nu }(k)$ نیز به صورت زیر تعریف می‌شود:

$f(r)=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)k\operatorname {d} \!k$

تبدیل هنکل توابع رایج ویرایش

در جدول زیر تبدیل هنکل مرتبه صفر برای تعدادی ار توابع رایج آمده‌است:^[۱]

$f(r)\,$	$F_{0}(k)\,$
$1\,$	$\delta (k)/k\,$
$1/r\,$	$1/k\,$
$r\,$	$-1/k^{3}\,$
$r^{3}\,$	$9/k^{5}\,$
$r^{m}\,$	${\frac {2^{m+1}\Gamma (m/2+1)}{k^{m+2}\Gamma (-m/2)}}\,$ (قسمت صحیح m باید بین $-2$ و $-1/2$ باشد)
${\frac {1}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}\,$	${\frac {e^{-k\|z\|}}{k}}={\sqrt {\frac {2\|z\|}{\pi k}}}K_{-1/2}(k\|z\|)\,$
${\frac {1}{r^{2}+z^{2}}}\,$	$K_{0}(kz)\,$ (z می‌تواند هر عدد مختلطی باشد)
$e^{iar}/r\,$	$i/{\sqrt {a^{2}-k^{2}}}\quad (a>0,k<a)\,$
$\,$	$1/{\sqrt {k^{2}-a^{2}}}\quad (a>0,k>a)\,$
$e^{-a^{2}r^{2}/2}\,$	${\frac {e^{-k^{2}/2a^{2}}}{a^{2}}}$
$-r^{2}f(r)\,$	${\frac {\operatorname {d} ^{2}\!F_{0}}{\operatorname {d} \!k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\operatorname {d} \!F_{0}}{\operatorname {d} \!k}}$

در جدول زیر نیز تبدیل هنکل مرتبه $\nu$ برای توابع پرکاربرد آمده است:

$f(r)\,$	$F_{\nu }(k)\,$
$r^{s}\,$	${\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}(2+\nu +s)\right)}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}(\nu -s))}}{\frac {2^{s+1}}{k^{s+2}}}\,$
$r^{\nu -2s}\Gamma \left(s,r^{2}h\right)\,$	${\frac {1}{2}}\left({\frac {k}{2}}\right)^{2s-\nu -2}\gamma \left(1-s+\nu ,{\frac {k^{2}}{4h}}\right)\,$
$e^{-r^{2}}r^{\nu }U\left(a,b,r^{2}\right)\,$	${\frac {\Gamma (2+\nu -b)}{2\Gamma (2+\nu -b+a)}}\left({\frac {k}{2}}\right)^{\nu }e^{-{\frac {k^{2}}{4}}}\,_{1}F_{1}\left(a,2+a-b+\nu ,{\frac {k^{2}}{4}}\right)$
$-r^{2}f(r)\,$	${\frac {\operatorname {d} ^{2}\!F_{\nu }}{\operatorname {d} \!k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\operatorname {d} \!F_{\nu }}{\operatorname {d} \!k}}-{\frac {\nu ^{2}}{k^{2}}}F_{\nu }$

جستارهای وابسته ویرایش

منابع ویرایش

↑ Papoulis, Athanasios (1981). Systems and Transforms with Applications to Optics (به انگلیسی). Florida USA: Krieger Publishing Company. pp. 140–175. ISBN 0898743583.

Gaskill, Jack D. (1978). Linear Systems, Fourier Transforms, and Optics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-29288-5.
Polyanin, A. D.; Manzhirov, A. V. (1998). Handbook of Integral Equations. Boca Raton: CRC Press. ISBN 0-8493-2876-4.
Smythe, William R. (1968). Static and Dynamic Electricity (3rd ed.). New York: McGraw-Hill. pp. ۱۷۹–۲۲۳.
Offord, A. C. (1935). "On Hankel transforms". Proceedings of the London Mathematical Society. ۳۹ (۲): ۴۹–۶۷. doi:10.1112/plms/s2-39.1.49.
Eason, G.; Noble, B.; Sneddon, I. N. (1955). "On certain integrals of Lipschitz-Hankel type involving products of Bessel Functions". Philosophical Transactions of the Royal Society A. 247 (935): ۵۲۹–۵۵۱. JSTOR ۹۱۵۶۵.
Kilpatrick, J. E.; Katsura, Shigetoshi; Inoue, Yuji (1967). "Calculation of integrals of products of Bessel functions". Mathematics of Computation. ۲۱ (۹۹): ۴۰۷–۴۱۲. doi:10.1090/S0025-5718-67-99149-1.
MacKinnon, Robert F. (1972). "The asymptotic expansions of Hankel transforms and related integrals". Mathematics of Computation. ۲۶ (118): ۵۱۵–۵۲۷. doi:10.1090/S0025-5718-1972-0308695-9. JSTOR ۲۰۰۳۲۴۳.
Linz, Peter; Kropp, T. E. (1973). "A note on the computation of integrals involving products of trigonometric and Bessel functions". Mathematics of Computation. ۲۷ (124): ۸۷۱–۸۷۲. JSTOR ۲۰۰۵۵۲۲.
Noll, Robert J (1976). "Zernike polynomials and atmospheric turbulence". Journal of the Optical Society of America. ۶۶ (۳): ۲۰۷–۲۱۱. Bibcode:1976JOSA...66..207N. doi:10.1364/JOSA.66.000207.
Siegman, A. E. (1977). "Quasi-fast Hankel transform". Opt. Lett. ۱ (۱): ۱۳–۱۵. Bibcode:1977OptL....1...13S. doi:10.1364/OL.1.000013.
Magni, Vittorio; Cerullo, Giulio; De Silverstri, Sandro (1992). "High-accuracy fast Hankel transform for optical beam propagation". J. Opt. Soc. Am. A. ۹ (۱۱): ۲۰۳۱–۲۰۳۳. Bibcode:1992JOSAA...9.2031M. doi:10.1364/JOSAA.9.002031.
Agnesi, A.; Reali, Giancarlo C.; Patrini, G.; Tomaselli, A. (1993). "Numerical evaluation of the Hankel transform: remarks". Journal of the Optical Society of America A. ۱۰ (۹): ۱۸۷۲. Bibcode:1993JOSAA..10.1872A. doi:10.1364/JOSAA.10.001872.
Barakat, Richard (1996). "Numerical evaluation of the zero-order Hankel transform using Filon quadrature philosophy". Applied Mathematics Letters. ۹ (۵): ۲۱–۲۶. MR 1415467.
Ferrari, José A.; Perciante, Daniel; Dubra, Alfredo (1999). "Fast Hankel transform of nth order". J. Opt. Soc. Am. A. ۱۶ (۱۰): ۲۵۸۱–۲۵۸۲. Bibcode:1999JOSAA..16.2581F. doi:10.1364/JOSAA.16.002581.
Secada, José D. (1999). "Numerical evaluation of the Hankel transform". Comp. Phys. Comm. 116 (۲–۳): ۲۷۸–۲۹۴. Bibcode:1999CoPhC.116..278S. doi:10.1016/S0010-4655(98)00108-8.
Wieder, Thomas (1999). "Algorithm 794: Numerical Hankel transform by the Fortran program HANKEL". ACM Trans. Math. Soft. ۲۵ (۲): ۲۴۰–۲۵۰. doi:10.1145/317275.317284.
Knockaert, Luc (2000). "Fast Hankel transform by fast sine and cosine transforms: the Mellin connection" (PDF). IEEE Trans. Signal Process. ۴۸ (۶): ۱۶۹۵–۱۷۰۱.^{^{[پیوند مرده]}}
Zhang, D. W.; Yuan, X. -C.; Ngo, N. Q.; Shum, P. (2002). "Fast Hankel transform and its application for studying the propagation of cylindrical electromagnetic fields". Opt. Exp. ۱۰ (۱۲): ۵۲۱–۵۲۵.
Markham, Joanne; Conchello, Jose-Angel (2003). "Numerical evaluation of Hankel transforms for oscillating functions". J. Opt. Soc. Am. A. ۲۰ (۴): ۶۲۱–۶۳۰. Bibcode:2003JOSAA..20..621M. doi:10.1364/JOSAA.20.000621.
Perciante, César D.; Ferrari, José A. (2004). "Fast Hankel transform of nth order with improved performance". J. Opt. Soc. Am. A. ۲۱ (۹): ۱۸۱۱. Bibcode:2004JOSAA..21.1811P. doi:10.1364/JOSAA.21.001811.
Gizar-Sicairos, Manuel; Guitierrez-Vega, Julio C. (2004). "Computation of quasi-discrete Hankel transform of integer order for propagating optical wave fields". J. Opt. Soc. Am. A. ۲۱ (۱): ۵۳–۵۸. Bibcode:2004JOSAA..21...53G. doi:10.1364/JOSAA.21.000053.
Cerjan, Charles (2007). "The Zernike-Bessel representation and its application to Hankel transforms". J. Opt. Soc. Am. A. ۲۴ (۶): ۱۶۰۹–۱۶۱۶. Bibcode:2007JOSAA..24.1609C. doi:10.1364/JOSAA.24.001609.

[1] Papoulis, Athanasios (1981). Systems and Transforms with Applications to Optics (به انگلیسی). Florida USA: Krieger Publishing Company. pp. 140–175. ISBN 0898743583.

[۱]