ترانهاد مزدوج

در ریاضیات، ترانهادِ همیوغ یا ترانهادِ هرمیتی یک ماتریس m در n (ماتریس A) با درایه‌های همتافت (مختلط)، ماتریسی است n در m (ماتریس $A^{*}$) که از ترانهادن و همیوغیدن هر کدام از درایه‌هایش ساخته‌می‌شود. ترانهاد همیوغ را به شیوه ریاضی اینگونه تعریف می‌کنند: $({\boldsymbol {A}}^{*})_{ij}={\overline {{\boldsymbol {A}}_{ji}}}$

این تعریف اینگونه نیز می‌تواند گفته‌شود: ${\boldsymbol {A}}^{*}=({\overline {\boldsymbol {A}}})^{\mathrm {T} }={\overline {{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }}}$

که در آن ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }\,\!$ نشانگر ترانهاده و ${\overline {\boldsymbol {A}}}\,\!$ نشانگر همیوغِ همتافت است. در رشته‌های فیزیک به ویژه فیزیکِ کوانتومی، ترانهادِ همیوغ یا ترانهاد هرمیتی را با نشانهٔ خنجر $A^{\dagger }$ نشان می‌دهند؛ و نشانه ستاره $A^{*}$ تنها برای نشان دادن همیوغِ همتافت است.

نمونه

اگر

${\boldsymbol {A}}={\begin{bmatrix}1&-2-i\\1+i&i\end{bmatrix}}$

سپس ترانهادِ همیوغ آن می‌شود:

${\boldsymbol {A}}^{*}={\begin{bmatrix}1&1-i\\-2+i&-i\end{bmatrix}}$

چند نکته پایه‌ای

ماتریس مربعی A با درایه‌های $a_{ij}$:

• ماتریس هرمیتی یا خودآبن (self-adjoint) است اگر A = A^∗ یعنی $a_{ij}={\overline {a_{ji}}}$.
• پادهرمیتی (antihermitian) است اگر A = −A^∗ یا $a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}$.
• هنجارمند (Normal) است اگر A^∗A = AA^∗.
• یکانی است اگر A^∗ = A⁻¹