تصاعد حسابی

در ریاضیات دنباله حسابی یا تصاعد حسابی (به انگلیسی: arithmetic progression) به دنباله‌ای از اعداد گفته می‌شود که اختلاف هر دو جمله متوالی آن مقداری ثابت، مثلاً باشد. به عدد ثابت قدر نسبت تصاعد گفته می‌شود. برای نمونه دنبالهٔ ۳، ۵، ۷، ۹، ۱۱، ۱۳، … یک تصاعد حسابی از اعداد با قدر نسبت ۲ می‌باشد.

اگر جمله اول یک دنباله حسابی و قدر نسبت آن باشد آنگاه جملهٔ ام این تصاعد برابر خواهد بود با

.

در حالت کلی رابطهٔ دنباله حسابی برای جمله‌های ام و ام خواهد بود:

مقدار می‌تواند مثبت یا منفی باشد که در صورت مثبت بودن آن، دنباله به سمت بینهایت مثبت میل می‌کند و در صورت منفی بودن ، دنباله به سوی منفی بینهایت می‌رود. همچنین تعداد جملات در تصاعد حسابی اینگونه بدست می اید:((اولی-اخری)÷ فاصله) به علاوه یک

تشخیص دنباله حسابیویرایش

برای تشخیص دنباله حسابی کافیست دو جمله متوالی از هم کم کنیم.

 

اگر به مقدار ثابتی رسیدیم، دنباله حسابی است.

مثال: آیا دنباله زیر حسابی است؟

 

جواب:

 

 

دو مقدار بالا ثابت است پس دنباله حسابی است.

واسطه حسابیویرایش

اگر   سه جمله متوالی دنباله حسابی باشند. برای پیدا کردن جمله وسط (واسطه حسابی) کافیست از فرمول زیر استفاده کنیم:

 

مثال:   را بیابید؟ (سه جمله زیر جملات متوالی دنباله حسابی هستند)

 

حل:

 

 

مجموعویرایش

مجموع اعضای یک دنبالهٔ محدود از اعداد با رابطهٔ تصاعد حسابی عبارت است از:

 
 

با جمع طرفین دو عبارت فوق:

 

در نتیجه:

 

برای نمونه اگر فرض کنیم که جملهٔ اول دنباله تصاعد حسابی ۳ و نسبت تصاعد آن ۵ است، آنگاه مجموع ۵۰ جملهٔ اول برابر با ۶۲۷۵ خواهد بود:

 

ضربویرایش

اگر در نظر بگیریم که جملهٔ اول یک تصاعد حسابی   نام دارد و قدر نسبت تصاعد   است؛ آنگاه حاصل ضرب جمله‌های آن تصاعد در یکدیگر، عبارت است از:

 

که در آن   نماد افزایش فاکتوریل و   نماد تابع گاما است. (هشدار: فرمول بدست آمده به ازای   کوچکتر مساوی صفر، نادرست خواهد بود)

فرمول بدست آمده در بالا، حالت کلی رابطهٔ حاصل ضرب   است که آن را با   فاکتوریل نمایش می‌دهیم و در صورتی که شروع ضرب از بجای یک از عدد دلخواه   باشد:

 

در صورتی که   و   اعداد طبیعی باشند، حاصل ضرب عبارت خواهد بود از:

 

برای درک بهتر مطلب، مثال گفته شده در بالا را در نظر بگیرید، که در آن جملهٔ اول دنباله تصاعد حسابی ۳ و نسبت تصاعد آن ۵ است، آنگاه حاصل ضرب ۵۰ جملهٔ اول برابر خواهد بود با:

 
نمونهٔ دیگر

تصاعد حسابی زیر را در نظر بگیرید:

 

حاصل ضرب سه جملهٔ اول این تصاعد عبارت است از:

 

   

حال از روی ظاهر عبارت بالا می‌توان پاسخ را برای   حدس زد:

 

مطالب گفته شده در بالا، به عنوان اثبات قابل پذیرش نیست و تنها برای درک بهتر بیان شد.

جمع بندی دنباله حسابیویرایش

مطالب بالا را در عکس زیر می‌توانید دوره کنید.

 
جمله عمومی دنباله حسابی و واسطه حسابی


پانوشتویرایش

آموزش دنباله حسابی «سیده فاطمه موسوی نطنزی»

جستارهای وابستهویرایش

منابعویرایش

  • Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. pp. 259–۲۶۰. ISBN 0-387-95419-8.

پیوند به بیرونویرایش