در فضای آزاد و در فضازمان تخت، تانسور ضربه انرژی الکترومغناطیسی در دستگاه SI چنین است:[۱]
T
μ
ν
=
1
μ
0
[
F
μ
α
F
α
ν
−
1
4
η
μ
ν
F
α
β
F
α
β
]
.
{\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left[F^{\mu \alpha }F_{\ \alpha }^{\nu }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,.}
که در آن
F
μ
ν
{\displaystyle F^{\mu \nu }}
تانسور الکترومغناطیسی و
η
μ
ν
{\displaystyle \eta _{\mu \nu }}
متریک مینکوفسکی با قطر (+++−) است. به تقارن تانسور
T
μ
ν
{\displaystyle T^{\mu \nu }}
به طور صریح در فرم ماتریسی رابطه‌ی بالا چنین است:
T
μ
ν
=
[
1
2
(
ϵ
0
E
2
+
1
μ
0
B
2
)
S
x
/
c
S
y
/
c
S
z
/
c
S
x
/
c
−
σ
x
x
−
σ
x
y
−
σ
x
z
S
y
/
c
−
σ
y
x
−
σ
y
y
−
σ
y
z
S
z
/
c
−
σ
z
x
−
σ
z
y
−
σ
z
z
]
,
{\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)&S_{x}/c&S_{y}/c&S_{z}/c\\S_{x}/c&-\sigma _{xx}&-\sigma _{xy}&-\sigma _{xz}\\S_{y}/c&-\sigma _{yx}&-\sigma _{yy}&-\sigma _{yz}\\S_{z}/c&-\sigma _{zx}&-\sigma _{zy}&-\sigma _{zz}\end{bmatrix}},}
در این ماتریس،
S
{\displaystyle \mathbf {S} }
بردار پوئینتینگ است:
S
=
1
μ
0
E
×
B
,
{\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} ,}
و
σ
i
j
{\displaystyle \sigma _{ij}}
تانسور تنش ماکسول هستند:
σ
i
j
=
ϵ
0
E
i
E
j
+
1
μ
0
B
i
B
j
−
1
2
(
ϵ
0
E
2
+
1
μ
0
B
2
)
δ
i
j
.
{\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}.}
c هم سرعت نور است.
برای نوشتن روابط در دستگاه گاؤسی می‌توان ثابت گذردهی خلأ و ثابت تراوایی خلاء را در روابط بالا چنین جایگزین کرد:
ϵ
0
=
1
4
π
,
μ
0
=
4
π
{\displaystyle \epsilon _{0}={\frac {1}{4\pi }},\quad \mu _{0}=4\pi \,}
بنابراین روابط قسمت قبل چنین خواهند شد:
T
μ
ν
=
1
4
π
[
F
μ
α
F
ν
α
−
1
4
η
μ
ν
F
α
β
F
α
β
]
.
{\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{4\pi }}[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }]\,.}
و به صورت صریح:
T
μ
ν
=
[
1
8
π
(
E
2
+
B
2
)
S
x
/
c
S
y
/
c
S
z
/
c
S
x
/
c
−
σ
x
x
−
σ
x
y
−
σ
x
z
S
y
/
c
−
σ
y
x
−
σ
y
y
−
σ
y
z
S
z
/
c
−
σ
z
x
−
σ
z
y
−
σ
z
z
]
{\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{8\pi }}(E^{2}+B^{2})&S_{x}/c&S_{y}/c&S_{z}/c\\S_{x}/c&-\sigma _{xx}&-\sigma _{xy}&-\sigma _{xz}\\S_{y}/c&-\sigma _{yx}&-\sigma _{yy}&-\sigma _{yz}\\S_{z}/c&-\sigma _{zx}&-\sigma _{zy}&-\sigma _{zz}\end{bmatrix}}}
توجه کنید که در دستگاه گاؤسی، بردار پوئینتینگ چنین است:
S
=
c
4
π
E
×
B
.
{\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .}
تانسور ضربه انرژی میدان الکترومغناطیسی در محیط دی‌الکتریک کمتر شناخته شده است و موضوع مباحثه هنوز حل نشده‌ی آبراهام−مینکوفسکی است.<ref>Pfeifer et al., Rev. Mod. Phys. 79, 1197 (2007) را ببینید. /ref>
مولفه‌ی
T
μ
ν
{\displaystyle T^{\mu \nu }\!}
چارتکانه ی میدان الکترومغناطیسی،
P
μ
{\displaystyle P^{\mu }\!}
ابرصفحه است. (
x
ν
{\displaystyle x^{\nu }}
نسبیت عام است.
قوانین پایستگی
ویرایش
با کمک تانسور ضربه انرژی الکترومغناطیسی می‌توان قوانین پایستگی تکانه‌ی خطی و انرژی در الکترومغناطیس را به صورتی فشرده نوشت. دیورژانس تانسور ضربه تنرژی چنین است:
∂
ν
T
μ
ν
+
η
μ
ρ
f
ρ
=
0
{\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }+\eta ^{\mu \rho }\,f_{\rho }=0\,}
که در آن
f
ρ
{\displaystyle f_{\rho }}
این معادله هم‌ارز با قوانین پایستگی معروف الکترومغناطیس در ۳ بعد است
∂
u
e
m
∂
t
+
∇
⋅
S
+
J
⋅
E
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial u_{\mathrm {em} }}{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} +\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} =0\,}
∂
p
e
m
∂
t
−
∇
⋅
σ
+
ρ
E
+
J
×
B
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {p} _{\mathrm {em} }}{\partial t}}-\mathbf {\nabla } \cdot \sigma +\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} =0\,}
که اولی پایستگی انرژی :
u
e
m
=
ϵ
0
2
E
2
+
1
2
μ
0
B
2
{\displaystyle u_{\mathrm {em} }={\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\,}
و دومی پایستگی تکانه خطی را بیان می‌کند:
p
e
m
=
S
c
2
{\displaystyle \mathbf {p} _{\mathrm {em} }={\mathbf {S} \over {c^{2}}}}
J نیز چگالی جریان الکتریکی و ρ چگالی بار الکتریکی را نشان می‌دهد.
جستارهای وابسته
ویرایش
![{\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left[F^{\mu \alpha }F_{\ \alpha }^{\nu }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f836c0a1343c18c45a1da3398c238ae47f47b60)
![{\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{4\pi }}[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/429e82ca701336feb3e1482af0581fb646672aaa)
