فرمول براهماگوپتا

در هندسه اقلیدسی، فرمول براهْماگوپتا دستوری برای یافتن مساحت هر چهار ضلعی محاطی با دانستن طول اضلاع یک چهارضلعی دلخواه است.

فرمولویرایش

فرض کنیم مساحت چهارضلعی K باشد و طول اضلاع آن a, b, c, d باشد. در این صورت فرمول براهماگوپتا بدین قرار است:

 

که در آن s برابر نصف محیط است:

 

این فرمول تعمیمی از فرمول هرون است. مثلث را می‌توان چهار ضلعی ای در نظر گرفت که طول یکی از اضلاع آن صفر است. از این منظر، با نزدیک کردن d به صفر، چهار ضلعی محاطی به یک مثلث محاطی تبدیل می‌شود (همه مثلث‌ها محاطی هستند)، و فرمول برهماگوپتا به فرمول هرون تبدیل می‌شود.

اگر نخواهیم از نصف محیط در فرمول براهماگوپتا استفاده کنیم فرمول بدین صورت خواهد بود:

 

هم‌ارز دیگر آن این است:

 

اثباتویرایش

 
نمودار مرجع

اثبات مثلثاتیویرایش

مساحت چهار ضلعی محاطی K برابر با حاصل جمع مساحت مثلث‌های ADB و BDC است:

 

اما از آنجایی که ABCD یک چهار ضلعی محاطی است پس، DAB = ۱۸۰° − ∠DCB.

از این رو sin A = sin C

پس:

 
 
 

برای پیدا کردن ضلع مشترک DB در ADB و BDC از قانون کسینوس‌ها استفاده می‌کنیم:

 

با توجه بهcos C = −cos A (از آنجایی که زوایای A و C مکمل هستند) داریم:

 

رابطهٔ بالا را در معادله ای که ابتدا به دست آوردیم جایگذاری می‌کنیم:

 
 

سمت راست به فرم a2b2 = (ab)(a + b) است پس توان نوشت:

 

که با ساده کردن عبارت در براکت‌ها، می‌دهد:

 
 

نیم قطر(S = p + q + r + s/2) را در فرمول وارد می‌کنیم:

 

از دو طرف جذر می‌گیریم:

 

اثبات غیر مثلثاتیویرایش

اثبات جایگزین و غیر مثلثاتی نیز وجود دارد که از دو کاربرد فرمول هرون در مثلث‌های مشابه استفاده می‌کند.[۱]

استفاده در چهارضلعی‌های غیر محاطیویرایش

در مورد چهارگوشه‌های غیر محاطی، فرمول برهماگوپتا قابل تعمیم است ولی باید اندازهٔ دو زاویه مقابل چهار ضلعی را در نظر بگیریم:

 

گه در آن θ برابر میانگین دو زاویهٔ مقابل است. (توجه کنید که انتخاب هر کدام از جفت زاویه‌های مقابل تأثیری در نتیجه ندارد: اگر دو زاویه مقابل دیگر گرفته شود، میانگین آنها برابر با ۱۸۰° − θ می‌شود و از آنجایی که cos(180° − θ) = −cos θ، cos2(180° − θ) = cos2 θ. نتیجه فرقی نمی‌کند) این فرمول تعمیم یافته با نام فرمول Bretschneider نیز شناخته می‌شود.

 

یک فرمول مرتبط، که Coolidge آن را اثبات کرده‌است و با آن می‌توان مساحت تمام چهار ضلعی‌های محدب را حساب کرد. این فرمول است[۲]

 

که در آن p و q طول قطرهای چهار ضلعی است. در یک چهارگوش محاطی، بر اساس قضیه بطلمیوس pq = ac + bd، و با این جایگذاری فرمول Coolidge به فرمول براهما گوپتا تقلیل میابد.

قضایای مرتبطویرایش

  • فرمول هرون برای مساحت مثلث حالت خاصی است که وقتی d = ۰ باشد حاصل می‌شود.
  • رابطه بین فرم اصلی و تعمیم یافتهٔ فرمول برهماگوپتا شبیه به نحوه تعمیم قضیه فیثاغورس به قانون کسینوس‌ها.
  • فرمول‌های حالت بسته برای محاسبهٔ چند ضلعی‌های محاطی وجود دارند که به‌طور فزاینده ای پیچیده هستند.[۳]

منابعویرایش

  1. Hess, Albrecht, "A highway from Heron to Brahmagupta", Forum Geometricorum 12 (2012), 191–192.
  2. J. L. Coolidge, "A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral", American Mathematical Monthly, 46 (1939) pp. 345-347.
  3. Maley, F. Miller; Robbins, David P.; Roskies, Julie (2005). "On the areas of cyclic and semicyclic polygons". Advances in Applied Mathematics. 34 (4): 669–689. arXiv:math/0407300. doi:10.1016/j.aam.2004.09.008.

پیوند به بیرونویرایش

This article incorporates material from proof of Brahmagupta's formula on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.