قانون کسینوس‌ها

در مثلثات قانون کسینوس که به نام قانون کاشانی هم شناخته می‌شود و در مورد هر نوع مثلثی صدق می‌کند به این شکل است:

تصویر یک مثلث

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma ),\,$

$b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos(\beta ),\,$

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha ),\,$

$\cos(\gamma )={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\ .\,$

اثبات

اثبات قانون کسینوس‌ها بر اساس قضیه فیثاغورس حالت زاویه باز

اثبات قانون کسینوس‌ها بر اساس قضیه فیثاغورس حالت زاویه تند

چند روش برای اثبات قانون کسینوس‌ها وجود دارد که در اینجا اثبات بر اساس قضیه فیثاغورس را می‌بینیم.

• حالت زاویه باز:

در اینجا اندازه ارتفاع وارد بر ضلع b را با h و فاصله پایه ارتفاع مذکور تا راس C را با d نشان داده‌ایم.

$c^{2}=(b+d)^{2}+h^{2}$

$c^{2}=b^{2}+2bd+d^{2}+h^{2}$

$c^{2}=b^{2}+2bd+a^{2},d=a\cos(\pi -\gamma )=-a\cos(\gamma )$

$c^{2}=b^{2}-2ab\cos(\gamma )+a^{2}$

• حالت زاویه تند:

$c^{2}=(b-a\cos(\gamma ))^{2}+(a\sin(\gamma ))^{2}$

$c^{2}=b^{2}-2ab\cos(\gamma )+a^{2}\cos ^{2}(\gamma )+a^{2}\sin ^{2}(\gamma ),cos^{2}(\gamma )+sin^{2}(\gamma )=1$

$c^{2}=b^{2}-2ab\cos(\gamma )+a^{2}$

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Law of cosines». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۹ می ۲۰۱۱.

جستارهای وابسته

• فرمول‌های مهم مثلثات
• مثلثات
• قانون سینوس‌ها
• قانون تانژانت‌ها

پیوند به بیرون

• An Excellent Tutorial on the Law of Cosines From PlainMath.Net
• Several derivations of the Cosine Law, including Euclid's at cut-the-knot