فضای برداری نرم‌دار

در ریاضیات، فضای برداری نرم‌دار (به انگلیسی: Normed Vector Space) یا فضای نرم‌دار، فضایی برداری روی اعداد حقیقی یا مختلط است که برای آن نرم تعریف شده باشد.[۱] نرم، صوری سازی و تعمیم مفهوم "طول" در جهان واقعی را به فضاهای برداری حقیقی تعمیم می دهد. نرم، تابعی حقیقی-مقدار است که روی فضای برداری عریف شده و اکثراً به صورت نمایش داده شده و دارای خواص زیر است:[۲]

  1. نامنفی است، یعنی برای هر بردار داریم .
  2. روی بردارهای ناصفر، بزرگتر از صفر است:
  3. برای هر بردار ، و هر اسکالر داریم:
  4. نامساوی مثلثی برقرار است، یعنی برای هر دو بردار داریم:
سلسله مراتب فضاهای ریاضیاتی، فضاهای نرم دار در این نمودار شامل فضاهای ضرب داخلی و زیرمجموعه ای از فضاهای متری هستند، که خود فضاهای متری زیرمجموعه فضاهای برداری نرم دار می باشند.

برای هر نرم از طریق رابطه زیر یک متر تعریف می شود:

که فضای برداری نرم دار را تبدیل به یک فضای متری و یک فضای برداری توپولوژیکی می کند. اگر متر مذکور کامل باشد، به فضای نرم دار مورد نظر، فضای باناخ می گویند.

پانویس

  1. Callier, Frank M. (1991). Linear System Theory. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97573-X.
  2. Rudin 1991, pp. 3-4.

منابع

پیوندهای بیرونی

  •   پرونده‌های رسانه‌ای مربوط به Normed spaces در ویکی‌انبار