فضای برداری نرم‌دار

همچنین ببینید: نرم (ریاضیات) و فضای باناخ

در ریاضیات، فضای برداری نرم‌دار (به انگلیسی: Normed Vector Space) یا فضای نرم‌دار، فضایی برداری روی اعداد حقیقی یا مختلط است که برای آن نرم تعریف شده باشد. نرم، صوری سازی و تعمیم مفهوم «طول» در جهان واقعی را به فضاهای برداری حقیقی تعمیم می‌دهد. نرم، تابعی حقیقی-مقدار است که روی فضای برداری عریف شده و اکثراً به صورت $x\mapsto \|x\|,$ نمایش داده شده و دارای خواص زیر است:

1. نامنفی است، یعنی برای هر بردار $x$ داریم $\|x\|\geq 0$.
2. روی بردارهای ناصفر، بزرگتر از صفر است:

   $\|x\|=0\Longleftrightarrow x=0.$

3. برای هر بردار $x$، و هر اسکالر $\alpha$ داریم:

   $\|\alpha x\|=|\alpha |\|x\|.$

4. نامساوی مثلثی برقرار است، یعنی برای هر دو بردار $x,y$ داریم:

   $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.$

سلسله مراتب فضاهای ریاضیاتی، فضاهای نرم‌دار در این نمودار شامل فضاهای ضرب داخلی و زیرمجموعه‌ای از فضاهای متری هستند که خود فضاهای متری زیرمجموعه فضاهای برداری نرم‌دار می‌باشند.

برای هر نرم از طریق رابطه زیر یک متر تعریف می‌شود:

$d(x,y)=\|y-x\|.$

که فضای برداری نرم دار را تبدیل به یک فضای متری و یک فضای برداری توپولوژیکی می‌کند. اگر متر $d$ مذکور کامل باشد، به فضای نرم دار مورد نظر، فضای باناخ می‌گویند.

منابع

• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Rolewicz, Stefan (1987), Functional analysis and control theory: Linear systems, Mathematics and its Applications (East European Series), vol. 29 (Translated from the Polish by Ewa Bednarczuk ed.), Dordrecht; Warsaw: D. Reidel Publishing Co.; PWN—Polish Scientific Publishers, pp. xvi+524, doi:10.1007/978-94-015-7758-8, ISBN 90-277-2186-6, MR 0920371, OCLC 13064804
• Schaefer, H. H. (1999). Topological Vector Spaces. New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.

پیوندهای بیرونی

• پرونده‌های رسانه‌ای مربوط به Normed spaces در ویکی‌انبار