قضیه بزو

قضیه بزو یا اتحاد بزو (به انگلیسی: Bézout's identity) قضیه‌ای قدرتمند برای حلقه‌های جابجایی مجهز به الگوریتم تقسیم است. دو حالت خاص این قضیه، در مورد اعداد طبیعی و چندجمله‌ای‌ها معروف و پرکاربرد است. این قضیه را نخستین بار ریاضیدان فرانسوی اتین بزو در کتابش «نظریه عمومی معادله های جبری» اثبات کرد.

در مجموعه اعداد طبیعی

فرض کنید $\;a$ و $\;b$ دو عدد صحیح باشند که دست کم یکی از آنها مخالف صفر است. در این صورت دو عدد صحیح $\;r$ و $\;s$ را می‌توان یافت به طوری که: $\;d=ra+sb$ که در آن $\;d$ ب. م. م $\;a$ و $\;b$ است. به عبارت دیگر حداقل یک ترکیب خطی از دو عدد صحیح $\;a$ و $\;b$ مساوی ب. م. م آن‌ها خواهد بود.

صورت دیگر قضیهٔ بزو

فرض کنید $a$ عددی صحیح و $m$ عددی طبیعی باشد که $(a,m)=1$. در اینصورت عددی طبیعی یکتا مانند $a^{*}$ وجود دارد که $aa^{*}\equiv 1(modm)$ باشد و $a^{*}$ را وارون ضربی $a$ به پیمانهٔ $m$ مینامیم.

برای اعدادی که متباین نیستند

اگر $a$ عددی صحیح و $m$ عددی طبیعی باشد $(a,m)$ عدد در دستگاه کامل مانده های $m$ مانند $a^{*}$ وجود دارد که $aa^{*}\equiv (a,m)(modm)$

مثال

برای $\;a=10$ و $\;b=24$ یک ترکیب خطیشان باید برابر با ب. م. م شان، یعنی $\;2$ شود. اگر قرار دهیم $\;r=5,s=-2$ آنگاه $\;ax+by=10\times 5+24\times (-2)=2$ یا به عبارت دیگر $10\times 5\equiv 2(mod24)$
وارون ضربی 10 به پیمانهٔ 7 برابر 5 است؛ یعنی،$10\times 5=50\equiv 1(mod7)$

اثبات

مجموعه کلیه ترکیب‌های خطی مثبت $\;a$ و $\;b$ را $\;P$ می‌نامیم. یعنی:

$P=\{ax+by|x,y\in \mathbb {Z} ,ax+by>0\}$

مجموعه $\;P$ به وضوح ناتهی است. زیرا مثلاً اگر $\;y$ ناصفر باشد، با $\;x=0,y=b$ یک عضو مثبت برای آن به دست می‌آید. چون همه اعضای $\;P$ مثبت اند، پس $\;P$ کوچکترین عضو دارد. آن را $\;d$ می‌نامیم و فرض می‌کنیم $\;d=ax'+by'>0$. ادعا می‌کنیم $\;d$ مساوی ب. م. م $\;a$ و $\;b$ است. برای این کار، $\;a$ را بر $\;d$ تقسیم می‌کنیم. بنابر الگوریتم تقسیم، خارج قسمت $\;q$ و باقی‌مانده $\;r$ (که $0\leq r\leq d$) وجود دارند که: $\;a=dq+r$. حال باید نشان دهیم $\;r=0$ اگر $\;r>0$ آنگاه چون داریم

$\;r=a-dq=a-(ax'+by')q=a-ax'q-by'q=a(1-ax')+b(-y'q)$

یعنی یک ترکیب خطی از $\;a$ و $\;b$ برابر با $\;r$ مثبت شده‌است که عددی کم تر از $\;d$ است. این تناقض است. زیرا $\;d$ کوچکترین ترکیب خطی مثبت $\;a$ و $\;b$ بود. پس فرض اولیه درست نبود. یعنی داریم $\;r=0$. به عبارت دیگر $\;a$ و مشابها $\;b$ بر $\;d$ بخش پذیر اند. ثابت شد $\;d$ مقسوم علیه مشترک $\;a$ و $\;b$ است. اثبات بزرگترین مقسوم علیه مشترک بودن آن مانده‌است. اگر $\;d'$ ب. م. م آن دو باشد، چون $\;a$ و $\;b$ هر دو بر $\ d'$ بخش پذیر اند، پس هر ترکیب خطی آن دو نیز بر $\;d'$ بخش پذیر اند. به ویژه $\;d=ax'+by'$. پس $\;d$ از $\;d'$ کوچکتر نیست و به عبارت دقیق تر، خود $\;d'$ است.

در مجموعه چندجمله‌ای‌های با ضرایب صحیح

اگر $\;a(x)$ و $\;b(x)$ دو چندجمله‌ای با ضرایب صحیح باشند، آنگاه چندجمله‌ای‌های $\;r(x)$ و $\;s(x)$ با ضرایب صحیح وجود دارند که $a(x)\times r(x)+b(x)\times s(x)$ برابر با ب. م. م $\;a(x)$ و $\;b(x)$ شود.

اثبات

چون در مجموعه چندجمله‌ای‌های با ضرایب صحیح، الگوریتم تقسیم درست است، مشابه اثبات قضیه برای مجموعه اعداد طبیعی، برای این صورت نیز جواب می‌دهد. (البته با تغییر اسامی و متغیرها)

منابع

• بهشتی زواره، رویا، و مریم میرزاخانی. نظریه اعداد. تهران: انتشارات فاطمی.