قضیه لیوویل (آنالیز مختلط)

قضیهٔ لیوویل (جوزف لیوویل) در توابع مختلط بیان می‌کند که یک تابع کراندار تام (تام به معنای تحلیلی بر روی کل صفحهٔ مختلط) تابعی ثابت است.[۱][۲]

جوزف لیوویل

دست‌آوردهاویرایش

قضیهٔ اساسی جبرویرایش

یک چندجمله‌ای   هر گاه   دست کم دارای یک ریشه است.[۳][۴]

طرحی از اثبات به کمک قضیهٔ لیوویل: فرض کنید برای هر عدد مختلط   ای   . بنابراین تابع   تام است. اکنون با کمک نامساوی‌های   یک عدد حقیقی مثبت مانند   بیابید که برای هر نقطه بیرون از دایرهٔ به مرکز مبدأ مختصات و شعاع   داشته باشیم  .

به کمک قضیه‌ای که بیان می‌کرد هر تابع پیوستهٔ حقیقی‌مقدار بر روی یک مجموعهٔ فشرده بیشینه و کمینهٔ مطلق خویش را اتخاذ می‌کند یک عدد حقیقی مثبت   بیابید که برای هر نقطه درون و روی دایرهٔ یاد شده داشته باشیم  . اینک   یک کران تابع   است. پس   تام و کراندار است و از قضیهٔ لیوویل باید تابعی ثابت باشد که در حالت   تناقض است. پس فرض خلف باطل و از آنجا چندجمله‌ای ما دارای ریشه است.

منابعویرایش

  1. امیر خسروی، متغیرهای مختلط و کاربردها، صفحهٔ ۱۷۷، قضیهٔ یک
  2. محمود حصارکی، محمدرضا پورنکی، توابع مختلط، صفحهٔ ۱۷۸، قضیهٔ ۲۶٫۲٫۴
  3. امیر خسروی، متغیرهای مختلط و کاربردها، صفحهٔ ۱۷۷، قضیهٔ دو
  4. محمود حصارکی، محمدرضا پورنکی، توابع مختلط، صفحهٔ ۱۷۹، قضیهٔ ۲۷٫۲٫۴
  • ترجمهٔ امیر خسروی، ویراستهٔ علی عمیدی، تألیف جیمز وارد براون و روئل و. چرچیل، متغیرهای مختلط و کاربردها، مرکز نشر دانشگاهی، چاپ هفتم، (۱۳۸۶)
  • تألیف: مجمود حصارکی، محمدرضا پورنکی، ویراستار: ارشک حمیدی، توابع مختلط، انتشارات فاطمی، چاپ یکم، (۱۳۸۲)