مدول (ریاضیات)

(تغییرمسیر از مدول (جبر))

در ریاضیات، مدول یک ساختار بنیادی ریاضیاتی است که در جبر مجرد از آن استفاده می شود. یک مدول بر روی یک حلقه تعمیمی از مفهوم فضای برداری بر روی یک میدان است، که در آن اسکالر ها عضوی از یک حلقه هستند (حلقه یک دار) و ضرب (از چپ و/یا از راست) بین عناصر حلقه و عناصر مدول تعریف می شود. مدولی که اسکالر های خود را از یک حلقه مثل R انتخاب می کند را یک R-مدول گویند.

لذا یک مدول مانند یک فضای برداری است که تحت جمع گروه آبلی می باشد، ضرب بین عناصر حلقه و مدول تعریف شده که بر روی جمع توزیع می شود (خاصیت توزیع پذیری) و باید با ضرب حلقه سازگاری داشته باشد.

مدول ها با نمایش گروه ها ارتباط نزدیکی دارند. آن ها یکی از مفاهیم مرکزی جبر جابجایی و جبر همولوژی بوده و به طور گسترده در هندسه جبری و توپولوژی جبری استفاده می شوند.

معرفی و تعریفویرایش

انگیزشویرایش

در یک فضای برداری، مجموعه اسکالرها تشکیل یک میدان داده و توسط ضرب اسکالری بر روی بردارها کنش انجام می دهند، این کنش تحت اصول موضوعه هایی چون قانون توزیع رفتار می کند. در یک مدول، تنها نیاز است که اسکالرها ساختار حلقه ای داشته باشند، بنابر این یک مدول نمایشگر تعمیم عمده ای از فضاهای برداریست. در جبر جابجایی، هم ایده‌آل ها و هم حلقه های خارج قسمتی مدول هستند، بنابراین بسیاری از استدلالات در مورد ایده‌آل ها و حلقه های خارج قسمتی را می توان با هم ترکیب کرده و از دیدگاه مدولی یکی کرد. در جبر ناجابجایی تمایز بین ایده‌آل‌های چپ، ایده‌آل‌ها و مدول ها شدت می یابد، گرچه در آن صورت هم برخی از شرایط نظریه حلقه ای را می توان برای ایده‌آل چپ یا مدول چپ نیز بیان کرد.

در بخش عمده ای از نظریه مدول‌ها، تلاش می شود تا در حد امکان، بسیاری از خواص مطلوب فضاهای برداری به مدول‌هایی که بر روی حلقه‌های "خوش رفتار" مثل حوزه ایده آل اصلی تعریف شده اند، توسعه پیدا کند. با این حال، مدول ها می توانند بسیار پیچیده تر از فضاهای برداری باشند؛ به عنوان مثال، تمام مدول ها پایه ندارند، و حتی آن ها که پایه دارند، یعنی مدول‌های آزاد، در صورتی که حلقه زمینه‌شان شرط ناوردا بودن عدد پایه را ارضاء نکنند، الزامی به داشتن یک رتبه واحد ندارند، در حالی که فضاهای برداری اینگونه نیستند و همیشه پایه دارند (ممکن است این پایه بی نهایت عضوی باشد) و کاردینال این پایه همیشه یکتاست (دو خاصیت اخیر در حالت کلی نیازمند اصل انتخاب اند، اما در حالت فضاهای متناهی بعدی یا فضاهای خوش-رفتار بی نهایت بعدی مثل فضاهای   به اصل انتخاب نیازی نیست.).

تعریف صوریویرایش

فرض کنید   یک حلقه باشد و   همانی ضربی اش. یک  -مدول چپ   شامل گروه آبلی   و یک عملگر   است به گونه ای که برای تمام  ، در   و   در   داریم:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

یادداشت هاویرایش

منابعویرایش