باز کردن منو اصلی
هفت ضلعی منتظم
یک هفت ضلعی منتظم را نمی توان با استفاده از خط کش و پرگار ساخت؛ این حکم را می توان با استفاده از میدان اعداد ساخت پذیر اثبات نمود.

در ریاضیات، یک میدان، مجموعه ای است که بر روی آن جمع، تفاضل، ضرب و تقسیم تعریف شده اند. این چهار عمل در میدان همچون چهار عمل متناظرشان در اعداد حقیقی و گویا عمل می کنند. لذا یک میدان ساختار جبری بنیادینی است که به طور گسترده در جبر، نظریه اعداد و بسیاری از شاخه های دیگر ریاضیات مورد استفاده قرار می گیرد.

شناخته شده ترین میدان ها، میدان اعداد گویا، میدان اعداد حقیقی و میدان اعداد مختلط می باشد. بسیاری از میدان های دیگر چون میدان توابع گویا، میدان توابع جبری، میدان اعداد جبری و میدان p-adic ها در ریاضیات به طور معمول مورد استفاده و مطالعه قرار گرفته اند، بخصوص در نظریه اعداد و هندسه جبری. بسیاری از پروتکل های رمزنگاری وابسته به میدان های متناهی، یعنی میدان هایی با تعداد اعضای متناهی می باشند.

رابطه ی دو میدان با مفهوم توسعه میدان ها بیان می شود. نظریه گالوا، که توسط اواریسته گالوا در دهه 1830 آغاز گشت، خود را وقف فهمیدن تقارن توسعه میدان ها نموده است. این نظریه، در میان نتایج دیگر، نشان می دهد که تثلیث زاویه و تربیع دایره را نمی توان با خطکش و پرگار انجام داد. به علاوه این که نشان می دهد معادلات درجه پنج از نظر جبری حلپذیر نیستند.

میدان ها در بسیاری از قلمرو های ریاضیاتی، مفاهیم بنیادینی هستند. از جمله در آنالیز که وابسته به میدان ها بوده و بر روی آن ها ساختار دیگری می افزاید. قضایای بنیادین آنالیز وابستگی تنگاتنگی به خواص ساختاری میدان اعداد حقیقی دارند. یک کاربرد دیگر که از نظر جبری مهم است این است که هر میدان را می توان به عنوان اسکالر هایی برای یک فضای برداری مورد استفاده قرار داد، که تم اصلی جبر خطی می باشد. میدان اعداد، رابطه خویشاوندی نزدیکی با اعداد گویا داشته و عمیقاً در نظریه اعداد مورد مطالعه قرار می گیرند. و در نهایت با کمک میدان توابع می توان خواص اشیاء هندسی را توصیف کرد.


تعریفویرایش

یک میدان را به طور غیر رسمی می توان یک مجموعه در نظر گرفت که بر روی آن دو عمل تعریف شده است: یکی از این عمل ها جمع است و به صورت a + b نوشته شده، دیگری ضرب است که به صورت ab نوشته می شود. هردوی این عمل ها رفتار مشابهی دارند، از جمله این که معکوس جمعی برای تمام عناصر a وجود داشته و به صورت aنوشته می شود، همچنین معکوس ضربی برای تمام عناصر غیر صفر b وجود داشته و به صورت b−1 نوشته می شود. این به ما امکان می دهد تا بتوانیم عمل معکوس هر کدام را بدین شکل تعریف کنیم:


تعریف کلاسیکویرایش

یک میدان F را به طور رسمی به صورت مجموعه ای تعریف می کنند که دو عمل جمع و ضرب بر روی آن تعریف می شود.[۱] یک عمل روی F در حقیقت یک تابع است به صورت F × FF. به بیان دیگر نگاشتی است که به هر جفت عنصر متعلق به F، یک عنصر از همان مجموعه نسبت می دهد. نتیجه افزودن a و b را جمع a و b نامیده و به شکل a + b نمایش می دهند. به طور مشابه، نتیجه ضرب a و b را به صورت ab یا ab نمایش می دهند. این عملیات برای ارضای خواص زیر ضرورت دارند، به این خواص اصول موضوعه میدان می گویند. در این اصول موضوعه، a، b و c عناصر دلخواهی از میدان F هستند.

  • شرکتپذیری جمع و ضرب: a + (b + c) = (a + b) + c و a · (b · c) = (a · b) · c
  • جابجایی جمع و ضرب: a + b = b + a و a · b = b · a
  • همانی جمعی و همانی ضربی: وجود دارد دو عنصر متمایز 0 و 1 در F به گونه ای که a + 0 = a و a · 1 = a
  • معکوسات جمعی: برای هر a در F وجود دارد عنصری در F که به صورت a نوشته شده و به آن معکوس جمعی a گفته می شود، چنان که a + (−a) = 0.
  • خاصیت توزیع پذیری ضرب بر روی جمع: a · (b + c) = (a · b) + (a · c)

این اصول را می توان اینگونه خلاصه کرد: یک میدان دو عمل دارد، که به آن ها جمع و ضرب می گویند؛ میدان تحت جمع یک گروه آبلی است که همانی آن 0 می باشد؛ عناصر غیر صفر نیز تحت ضرب یک گروه آبلی دیگر تشکیل می دهند که همانی آن ها 1 است؛ ضرب بر روی جمع توزیع پذیر می باشد.

یادداشت هاویرایش

  1. Beachy & Blair (2006, Definition 4.1.1, p. 181)


منابعویرایش