مشتق لی

در ریاضیات ٬ مشتق لی که به افتخار سوفوس لی نام‌گذاری شده است٬ تغییر یک میدان تانسوری ( در حالت کلی٬شامل میدان نرده‌ای و میدان برداری و یک-فرم)را در جهت یک شارش یک میدان برداری دیگر به‌دست می‌دهد. این تغییر در دستگاه ها مختصات مختلف ناوردا است و به همین دلیل مشتق لی بر روی هر منیفلد دیفرانسیل‌پذیر تعریف می‌شود.

تعریف

مشتق لی یک تابع

چند تعریف برای مشتق لی یک تابع وجود دارد.

• می‌توان مشتق لی رابراساس تعریف میدان‌های برداری به عنوان عملگرهای دیفرانسیلی مرتبه اول تعریف کرد. با فرض تابع ƒ : M → R و یک میدان برداری $X$ تعریف شده روی M ٬ مشتق لی ${\mathcal {L}}_{X}f$ یک تابع در راستای میدان$X$ با اعمال میدان به دست می‌آید.می‌توان آن را مشتق جهت‌دار $f$ در راستای $X$ پنداشت.ینابراین در یک نقطه p ∈ M داریم:

$({\mathcal {L}}_{\!X}f)(p)\triangleq X_{p}(f)\triangleq (Xf)(p)$

براساس تعریف مشتق‌گیری ٬می‌توان این مشتق را روی M چنین نیز نوشت:

$({\mathcal {L}}_{\!X}f)(p)\triangleq \operatorname {d} f_{p}\,(X_{p})$

با انتخاب مختصات x^a و با نوشتن :$X=X^{a}\partial _{a}$ که در آن $\partial _{a}={\frac {\partial }{\partial x^{a}}}$ بردارهای یکه برای دسته(باندل) مماس‌ها هستند٬ خواهیم داشت:

$({\mathcal {L}}_{\!X}f)(p)=X^{a}(p)(\partial _{a}f)(p)$.

مشتق لی یک میدان برداری

ابتدا یک براکت لی از دو میدان برداری X و Y‌تعریف می‌کنیم. یک تعریف عبارت است از:

${\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]$

تعریف‌های دیگر چنین‌اند: ( $\Phi _{t}^{X}$ تبدیل شار(فلو)‌و d عملگر نگاشت مماس مشتق است)

$({\mathcal {L}}_{X}Y)_{x}:=\lim _{t\to 0}{\frac {(\mathrm {d} \Phi _{-t}^{X})Y_{\Phi _{t}^{X}(x)}-Y_{x}}{t}}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\mathrm {d} \Phi _{-t}^{X})Y_{\Phi _{t}^{X}(x)}$

${\mathcal {L}}_{X}Y:=\left.{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {dt} ^{2}}}\right|_{t=0}\Phi _{-t}^{Y}\circ \Phi _{-t}^{X}\circ \Phi _{t}^{Y}\circ \Phi _{t}^{X}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}\Phi _{-{\sqrt {t}}}^{Y}\circ \Phi _{-{\sqrt {t}}}^{X}\circ \Phi _{\sqrt {t}}^{Y}\circ \Phi _{\sqrt {t}}^{X}\,$