معیار پایداری راث-هرویتز

در نظریه سامانه کنترل، معیار پایداری راث-هرویتز یک آزمون ریاضی است که شرط لازم و کافی برای پایداری سیستم کنترل تغییرناپذیر با زمان خطی (LTI) است. محک راث یک الگوریتم بازگشتی کارآمد است که ادوارد جان راث ریاضیدان انگلیسی در سال ۱۸۷۶ برای تعیین اینکه آیا همه ریشههای چندجمله‌ای مشخصه یک سامانه خطی دارای قسمت‌های حقیقی منفی هستند، پیشنهاد داد. ریاضیدان آلمانی، آدولف هورویتز، در سال ۱۸۹۵ به‌طور مستقل پیشنهاد کرد که ضرایب چندجمله‌ای را در یک ماتریس مربعی، به نام ماتریس هورویتز، مرتب کند و نشان داد که چندجمله‌ای پایدار است، اگر فقط اگر دنباله دترمینان‌های زیرماتریس‌های اصلی آن مثبت باشد. این دو روش معادل هستند، با محک روث روش کارآمدتری برای محاسبهٔ دترمینان‌های هرویتز نسبت به محاسبه مستقیم آنها ارائه می‌دهد. چندجمله‌ای ارضاء کننده معیار راث-هرویتز چندجمله‌ای هرویتز نامیده می‌شود.

استفاده از الگوریتم اقلیدس

این معیار مربوط به قضیه راث-هورویتز است. از بیان آن قضیه، ما داریم $p-q=w(+\infty )-w(-\infty )$ که:

• $p$ تعداد ریشه‌های چندجمله‌ای $f(z)$ با قسمت حقیقی منفی است؛
• $q$ تعداد ریشه‌های چندجمله‌ای $f(z)$ با قسمت حقیقی مثبت (طبق قضیه ، $f$ قرار است هیچ ریشه ای روی خط موهومی نباشد) است.
• w(x) تعداد تغییرات زنجیره استورم تعمیم یافته است که از$P_{0}(y)$ و$P_{1}(y)$ بدست می‌آید (توسط تقسیمات اقلیدوسی متوالی) که$f(iy)=P_{0}(y)+iP_{1}(y)$ برای Y حقیقی است.

با توجه به قضیه اساسی جبر، هر چند جمله ای درجه n باید دارای n ریشه در صفحه مختلط باشد (یعنی برای یک ƒ بدون ریشه در خط موهومی، p + q = n) بنابراین، این شرط را داریم که ƒ یک چندجمله‌ای پایدار (هرویتز) است اگر و فقط اگر p - q = n باشد(اثبات در زیر آورده شده‌است) با استفاده از قضیه راث-هرویتز، می‌توان شرط p و q را با زنجیره استورم تعمیم یافته جایگزین کرد، که به نوبه خود شرط ضرایب ƒ را خواهد داد.

مثال مرتبه-بالاتر

وقتی بدست آوردن ریشه‌های چندجمله‌ای مشخصه مرتبه بالاتر دشوار است می‌توان از روش جدولی برای تعیین پایداری استفاده کرد. برای یک چندجمله‌ای درجه n ام

• $D(s)=a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_{0}$

جدول دارای n + 1 ردیف و ساختار زیر است:

$a_{n}$	$a_{n-2}$	$a_{n-4}$	$\dots$
$a_{n-1}$	$a_{n-3}$	$a_{n-5}$	$\dots$
$b_{1}$	$b_{2}$	$b_{3}$	$\dots$
$c_{1}$	$c_{2}$	$c_{3}$	$\dots$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$

که در آن عناصر $b_{i}$ و $c_{i}$ به شرح زیر محاسبه می‌شود:

• $b_{i}={\frac {a_{n-1}\times {a_{n-2i}}-a_{n}\times {a_{n-(2i+1)}}}{a_{n-1}}}.$
• $c_{i}={\frac {b_{1}\times {a_{n-(2i+1)}}-a_{n-1}\times {b_{i+1}}}{b_{1}}}.$

پس از اتمام، تعداد تغییرات علامت در ستون اول تعداد ریشه‌های غیر منفی خواهد بود.

۰٫۷۵	۱٫۵	۰	۰
-3	۶	۰	۰
۳	۰	۰	۰
۶	۰	۰	۰

در ستون اول، دو تغییر علامت وجود دارد (۰٫۷۵ → ۳−، و ۳ → ۳−)، بنابراین دو ریشه غیرمنفی وجود دارد که سیستم ناپایدار است.

معادله مشخصه سیستم سروو داده‌شده‌است توسط:

• $b_{0}s^{4}+b_{1}s^{3}+b_{2}s^{2}+b_{3}s+b_{4}=0$

$b_{0}$	$b_{2}$	$b_{4}$	۰
$b_{1}$	$b_{3}$	۰	۰
$b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3} \over b_{1}$	$b_{1}b_{4}-b_{0}\times 0 \over b_{1}$ = $b_{4}$	۰	۰
$(b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3})b_{3}-b_{1}^{2}b_{4} \over b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3}$	۰	۰	۰
$b_{4}$	۰	۰	۰

برای پایداری، تمام عناصر ستون اول آرایه راث باید مثبت باشند؛ بنابراین شرایطی که برای پایداری سیستم داده شده باید ارضاء شود به شرح زیر فراهم شود:

$b_{1}>0,b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3}>0,(b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3})b_{3}-b_{1}^{2}b_{4}>0,b_{4}>0$

می‌بینیم که اگر

$(b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3})b_{3}-b_{1}^{2}b_{4}\geq 0$

سپس

$b_{1}b_{2}-b_{0}b_{3}>0$

ارضاء شده‌است.

• $s^{4}+6s^{3}+11s^{2}+6s+200=0$

جدول زیر را داریم:

۱	۱۱	۲۰۰	۰
6 1	6 1	۰	۰
10 1	200 20	۰	۰
-۱۹	۰	۰	۰
۲۰	۰	۰	۰

دو تغییر علامت وجود دارد این سیستم ناپایدار است، زیرا دارای دو قطبِ نیم-صفحه-راست و دو قطبِ نیم-صفحه-چپ است. از آنجا که یک ردیف صفر در جدول راث ظاهر نمی‌شود، سیستم نمی‌تواند قطب‌های jω داشته باشد.

• $s^{6}+2s^{5}+8s^{4}+12s^{3}+20s^{2}+16s+16=0.\,$

جدول زیر را داریم:

۱	۸	۲۰	۱۶
۲	۱۲	۱۶	۰
۲	۱۲	۱۶	۰
۰	۰	۰	۰

در چنین حالتی چندجمله‌ای کمکی $A(s)=2s^{4}+12s^{2}+16.\,$ است که باز هم برابر با صفر است. مرحله بعدی تفکیک معادله فوق است که چند جمله ای $B(s)=8s^{3}+24s^{1}.\,$ را ارائه می‌دهد. ضرایب ردیف حاوی صفر، اکنون "۸" و "۲۴" می‌شوند. روند آرایه راث با استفاده از این مقادیر که دارای دو نقطه در محور موهومی هستند پیش می‌رود. این دو نقطه در محور موهومی عامل اصلی پایداری حاشیه‌ای هستند.

جستارهای وابسته

• مهندسی کنترل
• مشتق از آرایه روت
• معیار پایداری نایکوئیست
• قضیه روث-هورویتس
• مکان ریشه
• تابع انتقال
• معیار لینارد-شیپر (گونه دیگری که به محاسبات کمتری احتیاج دارد)
• قضیه خاریتونوف (گونه دیگری برای ضرایب مجهول محدودشده در فواصل زمانی)
• معیار پایداری ژوری (قیاسی برای سیستم‌های LTI زمان گسسته)
• معیار پایداری بیستریتز (قیاسی برای سیستم‌های LTI زمان گسسته)

منابع

• Felix Gantmacher (J.L. Brenner translator) (1959) Applications of the Theory of Matrices, pp 177–80, New York: Interscience.
• Pippard, A. B.; Dicke, R. H. (1986). "Response and Stability, An Introduction to the Physical Theory". American Journal of Physics. 54 (11): 1052. Bibcode:1986AmJPh..54.1052P. doi:10.1119/1.14826. Archived from the original on 2016-05-14. Retrieved 2008-05-07.
• Richard C. Dorf, Robert H. Bishop (2001). Modern Control Systems (9th ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-030660-6.
• Rahman, Q. I.; Schmeisser, G. (2002). Analytic theory of polynomials. London Mathematical Society Monographs. New Series. Vol. 26. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853493-0. Zbl 1072.30006.
• Weisstein, Eric W. "Routh-Hurwitz Theorem". MathWorld--A Wolfram Web Resource.

پیوند به بیرون

• فایل‌اجرایی متلب که محک راث-هرویتز را اجرا می‌کند
• اجرای آنلاین معیار راث-هرویتز