جبر خطی

جبر خطّی شاخه‌ای از ریاضیات است که به بررسی و مطالعهٔ ماتریسها، بردارها، فضاهای برداری (فضاهای خطّی)، تبدیلات خطی، و دستگاه‌های معادلات خطی می‌پردازد.

کاربردها

جبر خطّی و کارائی‌های فراوان و گوناگون آن در ریاضیات و محاسبات گسسته طیف گسترده و وسیعی را شامل می‌گردد. علاوه بر کاربردهای آن در زمینه‌هایی از خود ریاضیات همانند جبر مجرد، آنالیز تابعی، هندسه تحلیلی، و آنالیز عددی، جبر خطّی استفاده‌های وسیعی نیز در فیزیک، مهندسی، علوم طبیعی، و علوم اجتماعی پیدا کرده‌است.

از کاربردهای جبر خطی می‌توان به اکتشاف نفت، برنامه‌ریزی خطی، مدارهای الکترونیکی، هوش مصنوعی، یادگیری ماشینی و پردازش سیگنال اشاره کرد.

مقدمه

آغاز نمودن مبحثی با اهمیت و همه‌جاگیری جبر خطی یکی از دشوارترین کارهاست، چرا که، با جهت‌گیری‌ها، تعبیرات، تعمیمات، و آینده‌بینی‌های زیادی روبرو می‌شویم. شاید یکی از انتخاب‌های مناسب این گونه باشد:

ماتریس و بردار زیر را در نظر می‌گیریم:

$M={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\\\end{bmatrix}},v={\begin{bmatrix}2\\1\\\end{bmatrix}}$

با ضرب ماتریس و بردار داریم:

$Mv={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2\\1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4\\5\\\end{bmatrix}}=w$

نتیجهٔ فوق را می‌توان در ترازهای معنائی گوناگونی مورد دقت و بررسی قرار داد. برخی از ملاحظات این گونه است:

ماتریس $M$ به عنوان عمل‌گری بر روی بردار $v$ عمل نموده و آن را به بردار $w$ تبدیل کرده‌است. $M$ می‌تواند ثابت انگاشته شده و دستگاهی ساده را نمایندگی کند، که در آن صورت، بردار $v$ اطلاعات یا داده‌هایی را می‌نمایاند که به نوعی به سیستم داده شده‌است.

سیستم $M$ درست مثل پردازش‌گری اطلاعات را به دانش تبدیل می‌کند. شاید یکی از روشن‌ترین مثال‌های کوتاه برای مفهوم فرایند تبدیل اطلاعات به دانش همین باشد.

ویژه‌مقدار

مقالهٔ اصلی: ویژه‌مقدار

ویژه‌مقدار و ویژه‌بردار از جملهٔ پرکاربردترین و جوهریترین مؤلفه‌های ماتریس‌ها و عمل‌گرهای خطی می‌باشد. مفهوم و عملکرد این اشیاء ریاضی را باید از جنس تلخیص، فشرده‌سازی اطلاعات، و ساده و آسان حل کردن مسائل خطی دشوار دانست.

فضاهای برداری

مقالهٔ اصلی: فضاهای برداری

از آن‌جا که بسیاری از کمیت‌های فیزیکی مثل نیرو، سرعت و شتاب هم اندازه (بزرگی) دارند و هم راستا، آن‌ها را کمیتی برداری در نظر می‌گیرند.

جبر خطی عددی

مقالهٔ اصلی: جبر خطی عددی

جستارهای وابسته

• جبر خطی عددی
• مقدار ویژه

منابع

• Tucker, A. 1988 : A Unified Introduction to Linear Algebra: Models, Methods and Theory , Macmillan Pub Co. ISBN 0-02-421580-5
• Friedberg, S. H. , Insel, A. J. , and Spence, L. E. 2003 : Linear Algebra, Pearson Education Inc. ISBN 0-13-008451-4