فرمول‌بندی انتگرال مسیر: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
جز ویکی‌سازی رباتیک(۶.۷) >عملگر هامیلتونی، معادله شرودینگر، مسعود علی محمدی، مکانیک کوانتوم، [[مکانیک کلاسیک]... |
|||
خط ۱:
در [[مکانیک کوانتومی]]، '''فرمول انتگرال مسیر''' توصیفی از نظریه کوانتوم است که [[اصل عمل مکانیک کلاسیک]] را عمومیت می‌بخشد. در این توصیف، مفهوم کلاسیک از وجود یک مسیر
ایده اولیه انتگرال مسیر را می توان به[[نوربرت وینر]] نسبت داد که ''انتگرال وینر'' برای حل مشکلات انتشار و [[حرکت براونی]] مطرح شده‌است. این ایده توسط [[پاول دیراک]] برای استفاده از لاگرانژ در مکانیک کوانتومی در مقاله ۱۹۳۳ او توسعه داده شده‌است. روش کامل در سال ۱۹۴۸ توسط [[ریچارد فاینمن]] توسعه داده شد. انگیزه اصلی در این روش تمایل برای بدست آوردن فرمول‌بندی مکانیک کوانتومی برای تحلیل [[نظریه ویلر-فیمنمن]] با استفاده از [[نقطه آغاز]] [[لاگرانژی]] و نه هامیلتونی است.
این فرمول بسیار مهم
انتگرال مسیر به فرایندهای کوانتومی و تصادفی مربوط می‌شود.
خط ۹:
== اصل کنش کوانتومی ==
[[هامیلتونی]] در مکانیک کوانتومی، معمولی مولد بسیار کوچک از زمان انتقال است. این به این معنی است که حالت در مدت زمان کمی بعد به وسیله [[عملگر هامیلتونی]] به حالت در زمان جاری مربوط می‌شود.
اما هامیلتونی در [[مکانیک کلاسیک]] از [[لاگرانژ]]، که یک کمیت بنیادی تر با توجه به [[نسبیت خاص]] است، نتیجه گرفته شده‌است. *
هامیلتونی یک تابع از مکان و تمانه در یک زمان است، و موقعیت و [[مقدار حرکت]] را در یک فاصله زمانی کوچک به شما می‌گوید. لاگرانژ یک تابع مکان در حال حاضر و در زمان کمی بعد است.(یا معادل آن برای جداسازی زمان [[بی نهایت]] کوچک، یک تابع مکان و سرعت است). رابطه بین این دو توسط تبدیل لژاندر مشخص می‌شود.
در مکانیک کوانتومی، تفسیر تبدیل لژاندر سخت است، زیرا حرکت روی یک مسیر مشخص نیست. در مکانیک کلاسیک با زمان گسسته،
خط ۲۳:
:<math> p = {\partial L \over \partial \dot{q}} \,</math>
که در آن [[مشتق جزئی]] با توجه به جاگذاری ''q'' به (''q''(''t'' + ε) ثابت شده‌است. تبدیل معکوس لژاندر است:
:<math> \epsilon L = p \epsilon \dot{q} - \epsilon H \,</math>
خط ۲۹:
:<math> \dot q = {\partial H \over \partial p} \,</math>
در مکانیک کوانتومی، حالت یک از حالت‌های مختلف با مقدارهای متفاوت از q و یا مقدارهای مختلف از ''p'' و مقادیر مختلف از ''p'' و ''q'' می‌تواند به عنوان عملگرهای تفسیر شود. عملگر ''p'' روی حالت‌هایی که نسبت به ''q'' غیر قابل [[اندازه گیری]] اند، تاثیر می‌گذارد.
با در نظر گرفتن دو حالت زمان و عمل با عملگر متناظر با لاگرانژ:
خط ۴۸:
نین به این معناست که '''پایه در حالت بعدی به q باز خواهد گشت'''.
این از حرکت دورانی درست در زمان معمول زیاد متفاوت نیست، عامل ''H'' تمام اطلاعات دینامیکی را شامل می‌شود. بخش اول و بخش بعدی انجام [[تبدیل فوریه]] برای تبدیل پایه از p به q است.
یکی دیگر از راه‌هایی که گفته شد این است که هامیلتونی تابعی است از ''p'' و ''q''، به توان رساندن این کمیت و تغییر پایه از ''p'' به ''q'' در هر مرحله اجاره می‌دهد تا عنصر ماتریس ''H'' به عنوان یک تابع ساده در امتدهد هر مسیر بیان شود. این تابع آنالوگ کوانتومی از عمل کلاسیک است. این نظر توسط [[پل دیراک]] بیان شد.
خط ۶۱:
فاینمن تشان داد که عمل کوانتوم دیراک برای اکثر موارد سودمنداست، یعنی عمل کلاسیکی فاز بدست آمده توسط تحول کوانتومی بین دو نقطه انتهایی ثابت است. او پیشنهاد کرد برای بهبود همه مکانیک کوانتومی فرض کنیم:
# [[احتمال]] برای یک واقعه بوسیله مربع طول یک [[عدد مختلط]] به نام "دامنه احتمال" داده شده‌است.▼
▲# [[احتمال]] برای یک واقعه بوسیله مربع طول یک عدد مختلط به نام "دامنه احتمال" داده شده‌است.
فاینمن نشان داد که این فرمول از مکانیک کوانتومی معادل با [[روش کانونیک برای مکانیک ککوانتومی]] است، زمانی که هامیلتونی با تکانه درجه دو است. دامنه محاسبه شده با توجه به اصول فاینمن، از [[معادلات شرودینگر]] برای [[هامیلتونی]] متناظر با عملگر داده شده تبعیت می‌کند.
سطر ۷۰ ⟵ ۶۹:
=== تعریف قطعه زمانی ===
برای یک ذره در پتانسیل صاف، انتگرال مسیر
:<math>\epsilon = \Delta t=\tfrac{t_b-t_a}{n+1}\,.</math>
سطر ۸۴ ⟵ ۸۳:
\ \exp \left(\frac{{\rm i}}{\hbar}\int\limits_{t_a}^{t_b} \mathcal L(x(t),v(t), t)\,\mathrm{d}t\right) </math>
که <math>\mathcal L(x,v,t)</math> لاگرانژی سیستم یک بعدی با متغیر مکانی (''x''(''t'' و سرعت (''v'' = ''ẋ''(''t'' در نظر گرفته می‌شود و ''dx<sub>j</sub>'' متناظر با موقعیت jام مرحله زمانی است، اگر زمان انتگرال توسط یک جمع روی یک مقدار ''n'' تقریب زده شود، در محدوده ∞ → ''n''، لاگرانژ یک ''انتگرال تابعی'' می‌شود که جدا از عامل غیر ضروری دامنه احتمال
در واقع <math>\mathcal L</math> [[لاگرانژ]] کلاسیکی در سیستم یک بعدی است، بنابراین
سطر ۹۶ ⟵ ۹۵:
:<math>\exp\left (\frac{{\rm i}}{\hbar}\epsilon\, \,\sum_{j=1}^{n}\mathcal L \left (\tilde x_{j},\frac{x_j-x_{j-1}}{\epsilon},j \right)\right)</math>
برش زمانی فایمن، رای انتگرال مسیر [[مکانیک کوانتوم]] اتم به پتانسیل کولمبی تکینه ''e''<sup>۲</sup>/''r'' بستگی دارد. تنها بعد از جاگذاری مان''t'' توسط پارامتر شبه زمانی دیگر مسیر وابسته جاگذاری می‌شود.
=== ذره آزاد ===
سطر ۱۲۹ ⟵ ۱۲۸:
\,</math>
تبدیل فوریه [[تابع گاوسی]] به این شرح است:
:<math>
سطر ۱۴۵ ⟵ ۱۴۴:
انتگرال مسیر روی متغیرهای معمول با شرایط مرزی ثابت، [[دامنه احتمال]] برای یک ذره که از نقطه ''x'' به ''y'' می رود را ، می دهد.
اگر ویژه [[حالت پایه]] و H را داشته باشیم می توانیم حالت پایه در هر زمانی را بدست آوریم.
<math>|\alpha;t\rangle=e^{-{\rm i}H(t) / \hbar}|\alpha;t\rangle </math>
از این رابطه ییداست که انتشارگر مستقل از [[تابع موج]] اولیه است و تنها با راشتن ویژه مقادیر انرژی و ویژه توابع آن، می توان آن را بدست آورد.و تنها به پتانسیل بستگی دارد بنابراین هامیلتونی مئجود این انتشارگر دارای یک خصوصیت است،در زمان های بزرگتر از t_0 در [[معادله شرودینگر]] وابسته به زمان با متغیرهای "x و t صدق می کند، (وقتی که 'x و t_0 را ثابت در نظر بگیریم)
به همین دلیل انتشارگر را می توان به عنوان تابعی از "x در زمان t در نظر گرفت که در زمان قبلی t_0 در 'x به طور کامل جایگزیده بوده است.
سطر ۱۵۶ ⟵ ۱۵۵:
اگر عملگر تحول زمانی را روی حالت اولیه تاثیر دهیم، می توانیم حالت در زمان های بعدی را بدست آوریم.
اگر ذره در ناحیه محدودی از فضا جایگزیده باشد، در این صورت می توان تابع موج اولیه ذره را به انتشارگر ضرب، و روی کل فضا [[انتگرال گیری]] کرد.مشابه این عمل را در الکتروستاتیک انجام می دهیم، به این صورت که ابتدا برای مثال پتانسیل بار نقطه ای را بدست آورده و روی کل فضای توزیع بار بسته به شکل مسأله انتگرال گیری می کنیم و سهم همه نقاط را در نظر می گیریم.
در تصویر شرودینگر، تابع موج از [[ضرب داخلی]] ویژه حالت مکان،یعنی 'x (که نسبت به زمان ثابت بود) در ویژه حالت سیستم(نسبت به زمان متغیر است)،ولی در تصویر هایزنبرگ؛تابع موج از ضرب داخلی 'x(که نسبت به زمان متغیر است)در ویژه حالت <math>|\alpha;t\rangle</math> (مه نسبت به زمان ثابت است)بدست می آید.
با استفاده از تصویر شرودینگر توانستیم تابع موج سیستم را بدست آوریم، و از طریق تصویر هایزنبرگ با توجه به تغییر مکان نسبت به زمان، می توان ویژه حالت های مکان را بدست آورد، که هر دو یک انتشارگر را بدست می دهند، به عبارتی از این دو طریق می توان انتشارگر را بدست آورد.
فرض کنیم یک موج می خواهد مسیر بین دو نقطه را طی کند، سیستم مکان اولیه و پایانی را می شناسدولی
برای هر قطعه زمانی یک دامنه گذار تعریف می شود، به این مفهوم که احتمال اینکه در قطعه زمانی <math>(t_(n-1),t_n)</math> مسیر <math>t_n</math> ,<math> x_n</math> و <math>t_(n-1)</math> , <math>x_(n-1)</math> طی می شود.
سطر ۱۶۸ ⟵ ۱۶۷:
نقطه <math> x_1 </math> و <math> x_n </math> مکان مشخص شده ای هستند.چندین مسیر مختلف بین این دو نقطه در زمان های مختلف در نظر گرفت، حتی برای رفتن از نقطه <math> x_1 </math> به <math> x_2 </math> نیز بی نهایت مسیر وجود دارد، دامنه گذار به همین دلیل تعریف شده است.یعنی باید احتمال اینکه هر کدام از مسیرها مد نظر ما باشد را در نظر بگیریم.در نهایت برای رسیدن از <math> x_1 </math> به <math> x_n </math> روی همه این دامنه گذارها جمع می بندیم تا سهم تمام نقاط موجود در مسیر در نظر گرفته شوند.
=== فرمول بندی فاینمن ===
تفاوت بین کلاسیک و کوانتوم در این است که در کلاسیک فقط یک مسیر معرف حرکت ذره است در حالیکه در کوانتوم تمام مسیرها برای ذره در نظر گرفته می شود، حتی مسیرهایی که به مسیر کلاسیک شباهت دارد ولی اکر [[ثابت پلانک]] را به صفر میل دهیم، باید به مسیر کلاسیکی برسیم.
در فرمول بندی فاینمن کنش کلاسیک نقش بسیار مهمی دارد که به این شکل است:
سطر ۲۰۶ ⟵ ۲۰۵:
*{{cite journal |authorlink=Pierre Cartier (mathematician) |last=Cartier |first=Pierre |last2=DeWitt-Morette |first2=Cécile |title=A new perspective on Functional Integration |journal=Journal of Mathematical Physics |volume=36 |year=1995 |issue=5 |pages=2137–2340 |doi=10.1063/1.531039 |arxiv=funct-an/9602005 |bibcode = 1995JMP....36.2237C}}
{{پایان چپ‌چین}}
* جی جی ساکورایی، ترجمه دکتر [[مسعود علی محمدی]] و دکتر حمیدرضا مشفق، مکانیک کوانتومی مدرن، 2010
== پیوند به بیرون ==
سطر ۲۱۶ ⟵ ۲۱۵:
[[رده:مکانیک کوانتم]]
[[رده:نظریه میدان کوانتومی]]
[[رده:ویکی‌سازی رباتیک]]
| |||