تفاوت میان نسخه‌های «واریانس»

۱٬۸۹۲ بایت اضافه‌شده ،  ۱ سال پیش
جز (ویرایش به‌وسیلهٔ ابرابزار:)
برچسب‌ها: ویرایش‌گر دیداری استفادهٔ زیاد از تگ یا الگوی سرخط
 
== خواص ==
:<math>\operatorname{Var}(aX+b)=\operatorname{Var}(aX)=a^2\operatorname{Var}(X).</math>
:<math>\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\, \operatorname{Cov}(X,Y),</math>
 
:واریاناس همیشه غیرمنفی است:
:<math>\operatorname{Var}(aX+bY)=a^2\operatorname{Var}(X)+b^2\operatorname{Var}(Y)+2ab\, \operatorname{Cov}(X,Y),</math>
:: <math>\operatorname{Var}(X)\ge 0.</math> <br />
:واریانس متغیر تصادفی ثابت همیشه صفر است به این معنی که:
:: <math>P(X=a) = 1 \iff \operatorname{Var}(X)= 0.</math> <br />
:اگر به متغیر تصادفی مقداری ثابت اضافه شود در واریانس متغیر تصادفی جدید تغییری ایجاد نمی‌شود:
:: <math>\operatorname{Var}(X+a)=\operatorname{Var}(X).</math> <br />
:اگر متغیر تصادفی در مقداری ثابت ضرب شود، واریانس متغیر تصادفی جدید در مربع مقدار ثابت قبلی ضرب می‌شود:
:: <math>\operatorname{Var}(aX)=a^2\operatorname{Var}(X).</math> <br />
:واریانس ترکیب خطی دو متغیر تصادفی به این شکل محاسبه می‌شود:
:: <math>\operatorname{Var}(aX+bbY)=a^2\operatorname{Var}(aXX)=a+b^2\operatorname{Var}(Y)+2ab\, \operatorname{Cov}(X,Y).,</math>
:: <math>\operatorname{Var}(X+YaX-bY)=a^2\operatorname{Var}(X)+b^2\operatorname{Var}(Y)+2-2ab\, \operatorname{Cov}(X,Y),</math> <br />
:به صورت کلی جمع <math>N</math> متغیر تصادفی به شکل پایین محاسبه می‌شود:
:: <math>\operatorname{Var}\left(aX+bY\sum_{i=1}^N X_i\right)=a\sum_{i,j=1}^2N\operatorname{VarCov}(XX_i,X_j)+b=\sum_{i=1}^2N\operatorname{Var}(YX_i)+2ab\,sum_{i\ne j}\operatorname{Cov}(XX_i,YX_j),.</math> <br />
:واریانس ترکیب خطی <math>N</math> متغیر تصادفی به شکل پایین محاسبه میشود:
:: <math>
\begin{align}
\operatorname{Var}\left( \sum_{i=1}^N a_iX_i\right) &=\sum_{i,j=1}^{N} a_ia_j\operatorname{Cov}(X_i,X_j) \\
&=\sum_{i=1}^N a_i^2\operatorname{Var}(X_i)+\sum_{i\not=j}a_ia_j\operatorname{Cov}(X_i,X_j)\\
& =\sum_{i=1}^N a_i^2\operatorname{Var}(X_i)+2\sum_{1\le i<j\le N}a_ia_j\operatorname{Cov}(X_i,X_j).
\end{align}
</math> <br />
:اگر کواریانس این متغیرهای تصادفی نسبت به هم صفر باشد یعنی <math>\operatorname{Cov}(X_i,X_j)=0\ ,\ \forall\ (i\ne j) ,</math> آنگاه:
:: <math>\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^N X_i\right)=\sum_{i=1}^N\operatorname{Var}(X_i).</math>
 
== واژه‌شناسی ==