پیش‌نویس:چگالی حالت ها

مقدمه

یکی از مشکلات اصلی در مکانیک آماری پیدا کردن چگالی حالت یک سیستم است و شناخت آن باعث می‌شود تا بتوان تمام مقادیر ترمودینامیکی سیستم را بدست آورد. در چند سال اخیر شبیه سازی‌های مولکولی این امکان را ایجاد کرده‌است تا تا بتوان چگالی حالت مواد پیچیده را شناسایی کرد. برای یک سیستم مشخص با حجم V و تعداد ذرات N، چگالی حالت که با Ω نشان داده می‌شود با تعداد حالت‌های انرژی E متناسب می‌باشد. چگالی حالت‌ها به طور مستقیم با خواص پراکنده سیستم ارتباط دارد و تراکم حالت بالا در یک سطح انرژی خاص به این معنا می‌باشد که نوار‌های مختلف انرژی آماده اشغال شدن و پر شدن هستند. به طور کلی چگالی حالت‌های ماده به کل پیوسته وجود دارند ولی با این حال در سیستم‌های ایزوله مانند اتم‌ها یا مولکول‌ها در فاز گازی توزیع چگالی به صورت گسسته‌است.

با بررسی چگالی حالت‌های الکترون در لبه باند بین لایه والانس و لایه هدایت در یک نیمه هادی، افزایش انرژی الکترون در باند هدایت باعث می‌شود تا سطح‌های بیشتری از انرژی اشغال شود. در حالتی که در یک بازه، انرژی به صورت ناپیوسته وجود داشته باشد این مفهوم را به ما می‌رساند که هیچ سطحی از انرژی در باند گپ ماده توسط الکترون اشغال نشده‌است.

نوار‌های الکترونی

ویژگی‌های اپتیکی مواد به چگونگی پر شدن این نوارها توسط الکترون‌ها بستگی دارد. از نظر هدایت الکتریکی، بر حسب پر شدن این باندها سه گروه اصلی داریم: فلزات، نارساناها و نیمه رساناها. در فلزات نوار ظرفیت تکمیل است و قمستی از نوار رسانش نیز توسط الکترون‌ها پر شده‌است. اما قسمت خالی نوار رسانش این اجازه را به الکترون‌ها می‌دهد که با بدست آوردن کمی انرژی بتوانند آزادانه حرکت کنند. در نارساناها باند ظرفیت تکمیل است و هیچ الکترونی در باند رسانش وجود ندارد. چون اختلاف انرژی بین بالاترین حد نوار ظرفیت و پایین‌تر حد نوار رسانش زیاد است؛ که نوار ممنوعه خوانده شده، و الکترون‌ها نمی‌توانند به باند رسانش بروند و آزادانه حرکت کنند. در نیمه رساناها باند ظرفیت (در دمای صفر کلوین) پر است، اما به علت کم بودن پهنای نوار ممنوعه، اکترون‌ها با بدست آوردن کمی انرژی؛ (مثلاً از طریق حرارت)، می‌توانند به باند رسانش بروند و آزادنه حرکت کنند. نیمه رساناها با بالا رفتن دما به رسانا تبدیل می‌شوند.

نظریه تابع چگالی

نظریه تابعی چگالی را برای سیستم‌های بس ذره ای بکار می‌بریم در واقع این نظریه ریشه در نظریه توماس - فرمی دارد. ما در مورد نظریه تابعی چگالی نظریه توماس-فرمی و مدل‌های وابسته به آن یعنی مدل توماس- فرمی مقدماتی، مدل توماس- فرمی- دیراک و مدل توماس-فرمی- دیراک- وایزاکر را بررسی می کنیم. تابع موج یا چگالی عناصر نادر Ne و Ar و Kr و Xe از روی معادله کلی بدست می‌آید و سپس چگالی را برحسب فاصله برای تمام این عناصر رسم می‌کنیم. همانگونه که مشاهده می‌شود تمام این چگالی‌ها در یک فاصله معین از مرکز یونی یک بیشینه دارند که احتمال وجود الکترون در آن فاصله بیشتر از دیگر فاصله‌ها می‌باشد. نظریه تابعی چگالی در واقع یک ابزار مفید برای محاسبه انرژی های حالت زمینه و توزیع‌های چگالی اتم‌ها و مولکولها و جامدات به ویژه برای سیستم‌های شامل تعداد زیادی از اتم‌ها یا مولکولهاست. چگالی با استفاده از این نظریه می‌توان چگالی‌های دقیق حالت پایه و انرژی‌های سیستم‌های الکترونی را که تحت تاثیر یک پتانسیل خارجی قرار دارند محاسبه نمود.

تقریب چگالی موضعی

همچنین با استفاده از این نظریه می‌توان سیستم‌های غیرهمگن با برهم کنش‌های مختلف را بررسی نمود. با ساده‌ترین تقریب بکاررفته تقریب چگالی موضعی Approximation Density Local می‌باشد. استفاده از نظریه تابعی چگالی می‌توان معادله شرودینگرتک اتمی با پتانسیل تبادلی- همبستگی LDA را بدست آورد و از روی آن چگالی را محاسبه کرد. این تئوری بیان می‌کند که انرژی حالت زمینه یک سیستم چند الکترونی یک تابعی یکتا از چگالی الکترونی است که این تابعی یکتا به تمام سیستم های الکترونی در، برای سادگی محاسبات حالت پایه اعمال می‌شود و مهم نیست که پتانسیل خارجی چه تابعی از فاصله باشد ترجیحاً سعی بر این است که اتم در حالت برانگیخته نباشد اما می‌توان با توجه به کلی بودن نظریه برای حالت برانگخیته نیز محاسبات را دنبال کرد؛ بنابراین با داشتن این تابعی تمام خواص حالت پایه سیستم را می توانیم بدست آوریم. انرژی حالت پایه برای سیستمی که در معرض پتانسیل قرار دارد به این شکل نوشته میشود:

$E(n)=\int v(r)n(r)dr+F[n(r)$

چگالی حالت‌های جزئی

در این قسمت BaTio3 بررسی شده‌است که نتایج در زیر آورده شده‌است:

چگالی حالت‌های جزئی از اتم‌های باریم ، تیتانیم و اکسیژن برای اربیتال‌های p،d و s محاسبه شده‌است.

نتایج نشان می‌دهد که اربیتال‌های p اتم باریم مشارکت بیشتری در پایین نوار والانس دارند و پیک بزرگی را در -6.5 الکترون ولت دارد که عمدتا نمایش سهم حالت‌های 5p اتم باریم است.مشارکت اربیتال‌های p اتم تیتانیم در نوار رسانش و والانس است که مشارکت عمده آن در بالای نوار والانس است و پیک بزرگی در حدود -2 الکترون ولت دارد. ولی میزان مشارکت اربیتال‌های 2p اتم اکسیژن بیشتر در بالای نوار ظرفیت و پایین نوار رسانش است و یک پیک بزرگ در حدود 0.6 الکترون ولت دارد.

چگالی حالت‌های کل

توزیع الکترون در طیف انرژی به وسیله چگالی حالت‌ها توصیف می‌شود و می‌تواند در آزمایش‌های نشر نوری اندازه‌گیری شود.لبه‌های نوار رسانش و والانس در نزدیک انرژی فرمی نسبتا تیز هستند.مشارکت 3d تیتانیم در ماکزیمم نوار والانس صفر است اما نسبت به انرژی چگالی حالت‌های الکترونی و توزیع بار پیوندی سریعا افزایش پیدا می‌کند.برعکس مشارکت 2p اکسیژن از صفر در مینیمم نوار رسان نسبت به افزایش انرژی افزایش پیدا می‌کند ، که این انعکاسی از کووالانسی بین 3d تیتانیم و 2p اکسیژن است .

از آنجا که تعداد حالت‌های الکترونی در یک نوار الکترونیکی (رسانش یا ظرفیت) بسیار زیاد است، برای بیان تعداد این حالت‌ها از مفهوم چگالی حالت(g(E استفاده می‌کنیم. g(E)dE بیانگر تعداد حالت‌هایی است که انرژی آن‌ها بین E و dEاست. به علت وجود تقارن کافی است که چگالی حالت را در منطقه برلیون بدست آورد و توسط آن چگالی حالت در تمام نقاط کریستال بدست می‌آید.

مراجع

[1] Jaffe, B. , Cook, R.W. and Jaffe, H. , ìPiezoelectric Ceramicî New York Academic Press

Parr, G. , and Yang, W. , Density-Functional Theory of Atoms & Molecules (Oxford University Press [2] Newyork (1989).

[3]

Torrie, G.M. & Valleau, J.P. (1977). Non-physical sampling distributions in Monte-Carlo free-energy estimation - Umbrella sampling. Journal of Computational Physics 23, 187– رده:مقاله‌های ایجاد شده توسط ایجادگر