چندجمله‌ای‌های متعامد

چندجمله‌ای‌های متعامد (Orthogonal polynomials) به دنباله‌هایی نامتناهی متشکل از چندجمله‌ای‌های حقیقی عمود برهم گفته می‌شود. در فضاهای برداری گوناگون، شکل گیری مفاهیم هندسی از قبیل طول (نرم)، زاویه، و تعامد از چگونگی تعیین و تعریف ضرب داخلی بردارها در آن جا آغاز می‌شود.

تاریخچه

مطالعات مربوط به چندجمله‌ای‌های متعامد از اواخر قرن نوزدهم (م) آغاز گردید.

تعریف

بازهٔ بستهٔ $[x_{1},x_{2}]$ و توابع چندجمله‌ای f و g را بر روی آن در نظر می‌گیریم. ضرب داخلی این دو چندجمله‌ای را می‌شود به صورت زیر در نظر گرفت:

$\langle f,g\rangle =\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)g(x)\;dx.$

توابع چندجمله‌ای f و g را متعامد می‌نامیم چنانچه $\langle f,g\rangle =0$ باشد.

مثال

چندجمله‌ای‌های لژاندر

مقالهٔ اصلی: چندجمله‌ای‌های لژاندر

چندجمله‌ای‌های لژاندر به مفهوم بالا، در بازه [۱٫۱-] و برای تابع وزن ۱ بر یکدیگر عمود هستند.

$P_{0}(x)=1,\,$

$P_{1}(x)=x,\,$

$P_{2}(x)={\frac {3x^{2}-1}{2}},\,$

$P_{3}(x)={\frac {5x^{3}-3x}{2}},\,$

$P_{4}(x)={\frac {35x^{4}-30x^{2}+3}{8}},\,$

$\vdots$

همگی این چندجمله‌ای‌ها دو به دو متعامد هستند، وقتی که از هم متمایز باشند ($m\neq n$).

$\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx=0.$

هماهنگ‌های کروی

مقالهٔ اصلی: هماهنگ‌های کروی