ضرب داخلی

در هندسهٔ تحلیلی، ضرب داخلی (به انگلیسی: Inner Product) یا ضرب اسکالر (نرده‌ای) (به انگلیسی: scalar product) یک عمل دوتایی بین دو بردار اقلیدسی است که نتیجهٔ آن یک عدد حقیقی است.

به عبارتی دیگر، ضرب داخلیِ دو کمیت برداری، یک کمیت نرده‌ای است.

نام ضرب اسکالر به این موضوع اشاره دارد که نتیجهٔ ضرب، یک کمیت اسکالر (نرده‌ای) است.

ضرب داخلی با نماد نقطه در وسط «·» نمایش داده می‌شود که با نقطه «.» تفاوت دارد، ازاین‌رو در انگلیسی به آن ضرب نقطه‌ای (به انگلیسی: dot product) هم گفته می‌شود.[۱]

تعریفویرایش

بیان ریاضیویرایش

ضرب داخلی دو بردار   و   در فضای   به صورت زیر تعریف می‌شود:[۲]

 

مثالویرایش

 

بیان ماتریسیویرایش

اگر بردارها را ماتریس سطری فرض کنیم ضرب داخلی را می‌توان از رابطهٔ زیر نیز محاسبه کرد (  یعنی ماتریس ترانهادهٔ  ):

 

مثالویرایش

 

بیان هندسیویرایش

اگر   زاویهٔ بین دو بردار باشد:[۳]

 

در نتیجه:[۳]

  • اگر   و   بر هم عمود باشند، نتیجهٔ ضرب صفر خواهد شد و برعکس:  
  • اگر   و   با هم موازی باشند، نتیجهٔ ضرب برابر ضرب طول بردارها خواهد شد و برعکس:  
  • ضرب داخلی یک بردار در خودش برابر مقدار طول آن به توان ۲ است: 

حجم متوازی‌السطوح به‌کمک ضرب‌داخلی بردارها[۴]ویرایش

متوازی‌السطوح از احجام‌برداری است که دارای حجم و مساحت است.

برای‌تشکیل متوازی‌السطوح احتیاج به ضرب‌خارجی سه‌بردار به‌نام (a,b,c) نیاز است. ویرایش پیداکردن حجم آن احتیاج به ضرب‌داخلی است.

ضرب‌داخلی بردارهای a,b,c به‌ترتیب این‌گونه است.

 

حجم ‌متوازی‌السطوح به این صورت است.

 

خواصویرایش

  1. جابه‌جایی:  [۳]
  2. پخش‌پذیری:  [۳]
  3. ضرب در عدد:  [۳]
  • شرکت‌پذیری ممکن نیست.[۵]
  • خط زدن ممکن نیست: اگر  ، نمی‌توان نتیجه گرفت که   بلکه  
  • نابرابری مثلثی:
    •  
    •  
  • نابرابری کوشی-شوارتز (از بیان هندسی نتیجه می‌شود):  

تعمیم بردارهای مختلطویرایش

برای دو بردار مختلط، ضرب داخلی به صورت زیر تعریف می‌شود[۲]:

 

که در اینجا،  ، مزدوج مختلط بردار   است.

جستارهای وابستهویرایش

منابعویرایش

  1. "Comprehensive List of Algebra Symbols". Math Vault (به انگلیسی). 2020-03-25. Retrieved 2020-09-06.
  2. ۲٫۰ ۲٫۱ S. Lipschutz; M. Lipson (2009). Linear Algebra (Schaum's Outlines) (4th ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
  3. ۳٫۰ ۳٫۱ ۳٫۲ ۳٫۳ ۳٫۴ «۱۲٫۳». Thomas' Calculus (14th Edition).
  4. هندسه‌۳ پایه‌دوازدهم.
  5. Weisstein, Eric W. "Dot Product." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/DotProduct.html
عملیات دوتایی
عددی تابعی مجموعه‌ای ساختاری
مقدماتی

+ جمع
تفریق
× ضرب
÷ تقسیم
^ توان

حسابی

div خارج قسمت اقلیدسی
mod باقی‌مانده اقلیدسی
بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک
کوچک‌ترین مضرب مشترک

ترکیباتی

() ضریب دوجمله‌ای
P جایگشت
C ترکیب

ترکیب
کانولوشن
جبر مجموعه‌ها

اجتماع
\ متمم نسبی
اشتراک
Δ تفاضل متقارن

ترتیب کلی

min کمینه
max بیشینه

توری‌ها

کرانه تحتانی
کرانه فوقانی

مجموعه‌ها

× ضرب دکارتی
اجتماع منفصل
^ توان مجموعه‌ای

گروه‌ها

حاصل‌جمع مستقیم
حاصل‌ضرب آزاد
produit en couronne

مدول‌ها

ضرب تانسوری
Hom هومومورفیزم
Tor پیچش
Ext extensions

درخت‌ها

enracinement

واریته‌های متصل

# جمع متصل

فضاهای نقطه‌دار

bouquet
smash produit
joint

بُرداری
(.) ضرب اسکالر
ضرب برداری
جبری
[,] کروشه لی
{,} کروشه پواسون
ضرب خارجی
هومولوژی
cup-produit
حاصل‌ضرب اشتراک
ترتیبی
+ الحاق
منطق بولی
عطف منطقی فصل منطقی یای انحصاری استلزام منطقی اگر و فقط اگر