باز کردن منو اصلی

واریته جبری

(تغییرمسیر از چندگونای جبری)
مکعب پیچ خورده (Twisted) یک یک واریته جبری تصویری است.

یک چندگونای جبری یا واریته جبری (به انگلیسی: algebraic variety)، اشیاء مرکزی مورد مطالعه در هندسه جبری می باشند. به طور سنتی، یک واریته جبری به صورت مجموعه جواب های دستگاه معادلات چند جمله ای ها بر روی اعداد حقیقی یا مختلط تعریف می شوند. تعاریف مدرن این مفهوم را به چندین طریق گسترش می دهند، در حالی که سعی بر حفظ جنبه شهودی هندسی پشت تعریف اصلی را دارند.

قرارداد هایی که در ارتباط با تعریف یک واریته جبری وجود دارد با هم کمی تفاوت دارند. به عنوان مثال، برخی از تعاریف نیازمند این اند که یک واریته تحویل ناپذیر باشد، یعنی اجتماعی از دو مجموعه ی کوچکتر بسته در توپولوژی زاریسکی نباشند. تحت این تعریف، واریته های جبری تحویل ناپذیر را مجموعه های جبری نیز گویند. قرارداد های دیگر نیازی به مفهوم تحویل ناپذیری ندارند.

قضیه ی بنیادی جبر ارتباطی بین جبر و هندسه نشان می دهد، به این شکل که نشان می دهد چندجمله ای مانیک (یک شیء جبری، چند جمله ای که ضریب بزرگترین توان آن یک باشد) تک متغیره با ضرایب مختلط توسط مجموعه ریشه هایش (یک شیء هندسی) تعیین می گردد. قضیه صفر های هیلبرت با تعمیم این نتیجه، تناظری بنیادین بین ایده آل های حلقه های چند جمله ای و مجموعه های جبری برقرار می کند. با استفاده از قضیه صفر های هیلبرت و نتایج مرتبطه، ریاضیدانان تناظری قوی بین سوالات در ارتباط با مجموعه های جبری و سوالات مربوط به نظریه حلقه ها برقرار کرده اند.

بسیاری از واریته های جبری منیفلد هستند، در حالی که یک واریته جبری ممکن است نقاط تکین داشته باشد در حالی که منیفلد ها نمی توانند نقطه تکین داشته باشند. واریته های جبری را می توان با کمک ابعادشان شناسایی کرد. واریته های جبری از بعد یک را خم های جبری گویند و واریته های جبری از بعد دو را رویه های جبری گویند.

مروری بر تعاریفویرایش

یک واریته آفین بر روی یک میدان بسته جبری، از نظر مفهومی راحت ترین نوع واریته است که می توان تعریف کرد، و ما در این بخش اینگونه واریته ها را تعریف می کنیم. سپس، می توان واریته های تصویری و شبه تصویری را به شکل مشابهی تعریف نمود. کلی ترین تعریف یک واریته از طریق به هم چسباندن تکه واریته های شبه تصویری بدست می آید. ساخت واریته های جدید به این شکل بدیهی و واضح نیست، اما ناگاتا مثالی از چنین واریته های جدیدی را در دهه 1950 میلادی ارائه نمود.

واریته های آفینویرایش

مقاله اصلی: واریته آفین

برای یک میدان جبری بسته مثل   و عددی طبیعی مثل  ،   را یک n-فضای آفین بر روی   در نظر بگیرید. چند جمله ای های   در حلقه   را می توان به صورت توابع K-مقداری روی   دید که مقادیرش را از نقاط   بر می گیرد، یعنی هر   نقطه ای از   انتخاب می کند. برای هر مجموعه   از چند جمله ای هایی در  ، مکان صفر های آن یعنی   را مجموعه نقاطی از   تعریف می کنیم که توابع داخل مجموعه ی   همزمان بر روی آن صفر شوند، به عبارتی دیگر داریم:

 

زیر مجموعه ای چون   از   را مجموعه جبری آفینی گویند اگر برای یک مجموعه مثل   داشته باشیم  .[۱]:2 یک مجموعه جبری آفینی ناتهی چون   را تحویل ناپذیر ویند اگر نتوان آن را به صورت اجتماع سره ای از دو زیر مجموعه جبری نوشت.[۱]:3 یک مجموعه جبری آفینی را واریته آفینی گویند.[۱]:3 (بسیاری از مؤلفین از عبارت واریته آفینی برای اشاره به هر مجموعه جبری آفینی استفاده می کنند، چه آن مجموعه تحویل ناپذیر باشد یا خیر[note ۱])) بر روی واریته های آفینی می توان توپولوژی طبیعی تعریف کرد، به گونه ای مجموعه های بسته ی آن همان مجموعه های جبری آفینی باشد. این توپولوژی را توپولوژی زاریسکی گویند.[۱]:2 اگر زیرمجموعه ای چون   از   داده شده باشد،   را به صورت ایده آلی از تمام توابع چند جمله ای تعریف می کنیم که روی مجموعه   ناپدید (صفر) می شوند:

 

برای هر مجموعه جبری چون  ، حلقه مختصاتی یا حلقه ساختاری از  ، خارج قسمت حلقه چند جمله ای توسط این ایده آل است.[۱]:4

واریته های تصویری و شبه-تصویریویرایش

مقالات اصلی: واریته تصویری و واریته شبه تصویری فرض کنید   میدانی جبری بسته باشد و   n-فضای تصویری روی   باشد.   را چند جمله ای همگن از درجه   عضو   در نظر می گیریم.   نمی تواند روی نقاط   در مختصات همگن خوش تعریف باشد. چرا که   همگن است، یعنی  ، ولی پرسیدن این که آیا   در نقطه ای چون   صفر می شود معنی دار است. برای هر مجموعه از چند جمله ای های همگن چون   مکان هندسی صفر های   را به صورت نقاطی از   تعریف می کنیم که توابع   روی آن ناپدید (صفر) می شوند:

 

زیرمجموعه ای چون   از   را مجموعه جبری تصویری گویند اگر برای یک   داشته باشیم  .[۱]:9 یک مجموعه جبری تصویری تحویل ناپذیری را واریته تصویری گویند.[۱]:10

با اعلام بسته بودن تمام مجموعه های جبری، واریته های تصویری هم مجهز به توپولوژی زاریسکی می شوند.

با معلوم بودن   از  ، فرض کنید   ایده آل تولید شده توسط تمام چند جمله ای های همگنی باشد که روی   ناپدید (صفر) می شوند. برای هر مجموعه جبری تصویری چون  ، حلقه مختصاتی   خارج قسمت حلقه چند جمله ای بر روی این ایده آل است.[۱]:10

یک واریته شبه-تصویری یک زیر مجموعه باز زاریسکی است. توجه کنید که هر واریته آفین شبه-تصویری است.[۲] همچنین دقت کنید که متمم یک مجموعه جبری در یک واریته آفین هم یک واریته شبه-تصویری است؛ در بستر واریته های آفینی، چنین واریته های شبه تصویری را اغلب نه یک واریته، بلکه یک مجموعه ساخت پذیر گویند.

پانویس هاویرایش

  1. Hartshorne, p.xv, notes that his choice is not conventional; see for example, Harris, p.3

ارجاعاتویرایش

  1. ۱٫۰ ۱٫۱ ۱٫۲ ۱٫۳ ۱٫۴ ۱٫۵ ۱٫۶ ۱٫۷ Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.
  2. Hartshorne, Exercise I.2.9, p.12

منابعویرایش

This article incorporates material from Isomorphism of varieties on پلنت‌مث, which is licensed under the ویکی‌پدیا:ترجمه مجوز کریتیو کامنز.