کهاد

اگر A یک ماتریس مربعی باشد، ماتریسی مربعی و کوچکتری که از حذف یک یا چند سطر و ستون A بدست می‌آید را کِهاد ماتریس A می‌نامند. اگر فقط سطر iام و ستون jام از ماتریس A حذف شود و آنگاه کِهاد مرتبه اول iام و jام به دست می‌آید. اگر دو سطر و دو ستون حذف گردد کِهادهای مرتبه دوم حاصل خواهد شد. منظور از کِهاد معمولاً کهادِ مرتبه اول است.

از کِهاد (به انگلیسی: minor) برای محاسبه همسازه یا کوفکتور (cofactor) ماتریس استفاده می‌شود که آن هم به نوبه خود برای محاسبه دترمینان و معکوس یک ماتریس کاربرد دارد.

تعریف و نمایش

کهاد مرتبهٔ اول

اگر $\ A$یک ماتریس مربعی باشد آنگاه کِهاد درایهٔ سطر$\ i$ام و ستون $\ j$ام (که $\ M_{i,j}$یا کِهادِ اوّل نامیده می‌شود) با گرفتنِ دترمینانِ ماتریسی که با حذف ردیف $\ i$ام و سطر $\ j$ام بدست می‌آید، ساخته و معمولاً با $\ M_{i,j}$نمایش داده می‌شود.

کوفکتور $ij$ام، با ضرب کِهادِ $ij$ام در $(-1)^{i+j}$، بدست می‌آید. برای درک بیشتر، به مثال زیر برای یک ماتریس ۳ در ۳، توجه کنید:

${\begin{bmatrix}\,\,\,1&4&7\\\,\,\,3&0&5\\-1&9&\!11\\\end{bmatrix}}$

برای محاسبهٔ کِهاد $\ M_{2,3}$و کوفَکتورِ $\ M_{2,3}$، باید دترمینانِ ماتریس بالا را، با حذف ردیف ۲ و ستون ۳، بدست آوریم.

$M_{2,3}=\det {\begin{bmatrix}\,\,1&4&\Box \,\\\,\Box &\Box &\Box \,\\-1&9&\Box \,\\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}\,\,\,1&4\,\\-1&9\,\\\end{bmatrix}}=(9-(-4))=13$

در نتیجه، کوفکتورِ (۲٬۳) می‌شود:

اگر جمع جبری توان(i + j) زوج باشد حاصل C مثبت و اگر فرد باشد مقدار C منفی است

$\ C_{2,3}=(-1)^{2+3}(M_{2,3})=-13.$

پیوند به بیرون

• آموزش ویدئویی همسازه و کهاد ماتریس
• دترمینان، کهاد، همسازه و ماتریس