باز کردن منو اصلی

دترمینان، در جبر خطی به تابعی گفته می‌شود که هر ماتریس مربعی را (به عبارتی هر ماتریس را) به یک عدد نسبت می‌دهد. دترمینان بیشتر برای تعیین معکوس ماتریسها استفاده می‌شود، به طوری که اگر دترمینان ماتریسی مخالف صفر باشد، آنگاه آن ماتریس معکوس‌پذیر است. از این رو از طریق دترمینان می‌توان مقادیر ویژه یک ماتریس یا به عبارت بهتر یک نگاشت خطی را تعیین کرد. مثال دیگر، این توابع، دترمینان ژاکوبی است که در روش تغییر متغیر برای انتگرالهای چند بعدی، مورد استفاده قرار می‌گیرد.

محتویات

تعریفویرایش

اگر   یک ماتریس مربعی n-بعدی با اعضای   ( ) باشد، آنگاه دترمینان این ماتریس به صورت زیر نوشته می‌شود (نامیده شده به لایبنیتز):

 

در اینجا  ، مجموعهً تمام جایگشت‌های (permutations) ممکن بین اعداد   است و   تابعی است که مقدار آن برابر ۱برای جابه‌جایی‌های ( ) زوج و برابر   برای جابه‌جایی‌های فرد است. در اینجا منظور از زوج و فرد، تعداد تعویض‌های دوتایی می‌باشد، که جابه‌جاییِ   از آنها ساخته شده است.

برخی از ویژگی‌هاویرایش

  • اگر B ماتریس حاصل از جا به جایی دو سطر یا دو ستون ماتریس A باشد آنگاه دترمینان B برابر قرینهٔ دترمینان A.
  • اگر ماتریس A دارای دو سطر یا دو ستون مساوی باشد دترمینان آن صفر است.
  • اگر ماتریس A دارای سطر یا ستونی با درایه‌های صفر باشد، دترمینان آن صفر است.
  • اگر ماتریس A یک ماتریس بالا مثلثی یا پایین مثلثی باشد، دترمینان آن برابرست با ضرب درایه‌های قطر اصلی.
  • اگر تمام درایه‌های یک سطر یا یک ستون ماتریس A بر عددی مانند K بخشپذیر باشد آنگاه K از دترمینان خارج شده و در عدد دترمینان ضرب می‌شود.

مثال‌هاویرایش

برای، دترمینان‌های مرتبه یک، مرتبه دو و مرتبه سه به‌ترتیب داریم:

 

 

 

برای ماتریس‌های مرتبه سه (۳×۳) از روش زیرین می‌توان استفاده کرد.

مثلاً برای پیدا کردن دترمینان ماتریس  

 

 

احتیاط: از این روش فقط برای ماتریس‌های مرتبه سه استفاده می‌شود و از آن نمی‌توان برای ماتریس‌های بیش از مرتبه سه استفاده کرد.

منابعویرایش

  • Alan Tucker, ۱۹۸۸ : A Unified Introduction to Linear Algebra: Models, Methods and Theory , Macmillan Pub Co. ISBN 0-02-421580-5

پیوند به بیرونویرایش