کوچک‌ترین مضرب مشترک

در حساب و نظریه اعداد، کوچکترین مضرب مشترک (اختصاری ک. م. م) (به انگلیسی: Least Common Multiple) (اختصاری LCM) از دو عدد صحیح a و b را اغلب به صورت (LCM(a, b نمایش داده که کوچکترین عدد صحیح مثبتی است که بر هردوی a و b بخش پذیر می‌باشد. از آنجا که تقسیم بر صفر تعریف نشده، تعریف ک.م.م. تنها زمانی معنادار است که a و b هردو مخالف صفر باشند. با اینحال، برخی از مؤلفان $\operatorname {lcm} (a,0)$ را برای تمام a‌ها برابر با صفر تعریف می‌کنند، به این دلیل که ک.م.م. را کوچکترین کران بالایی در مشبکه بخش‌پذیری تعریف می‌نمایند.

نمودار وِنی از کوچکترین مضارب مشترک ترکیبات مختلفی از ۲، ۳، ۴، ۵ و ۷ (در اینجا ۶ نادیده انگاشته شده، چرا که به صورت ۳×۲ بوده و هردوی ۲ و ۳ نیز قبلاً نمایش داده شده‌اند). به عنوان مثال، بازی ورقی را در نظر بگیرید که ورق‌های آن باید به‌طور مساوی، حداکثر بین ۵ بازیکن تقسیم شوند، در این حالت حداقل نیاز به ۶۰ ورق بازی است. همانگونه که در نمودار فوق نیز مشاهده می‌گردد، اشتراک ۲، ۳، ۴، و ۵ عدد ۶۰ بوده که در مجموعه ۷ واقع نشده.

همچنین ک.م.م. را می‌توان آن قبل از جمع، تفریق یا مقایسه کسرها به کار برد. ک.م.م. بیش از دو عدد صحیح نیز خوش‌تعریف است: در این حالت ک.م.م. برابر با کوچکترین عدد صحیح مثبتی است که بر هرکدام از آن‌ها بخش‌پذیر باشد.

تعریف

فرض کنید $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ اعداد صحیح و ناصفر باشند. در میان مضرب‌های مشترک مثبت $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ کوچکترین عدد را (که بنا بر اصل خوش ترتیبی وجود دارد.) کوچکترین مضرب مشترک $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ می‌نامیم و آن را با ‍$[a_{1},a_{2},...,a_{n}]$ نشان می‌دهیم.

قضیه

اگر $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ اعدادی صحیح و ناصفر باشند، هر مضرب مشترک آن‌ها بر $[a_{1},a_{2},...,a_{n}]$ بخش‌پذیر است.

برهان: اگر $k$ مضرب مشترکی از $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ باشد، بنابر الگوریتم تقسیم اعدادی صحیح مانند $q$ و $r$ وجود دارند که

(۱) $k=[a_{1},a_{2},...,a_{n}]q+r$ و $0\leq r<[a_{1},a_{2},...,a_{n}]$

از طرف دیگر $a_{i}|[a_{1},a_{2},...,a_{n}]$ و $a_{i}|k$ برای هر $1\leq i\leq n$

بنابراین $a_{i}|r$

یعنی $r$ مضربی مشترک از $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ است. در نتیجه اگر $r>0$، آنگاه $r\geq [a_{1},a_{2},...,a_{n}]$، که با نابرابری سمت راست (۱) تناقض دارد بنابراین $r=0$ و $k|[a_{1},a_{2},...,a_{n}]$

محاسبه ک.م.م.

برای محاسبه ک.م.م. می‌توان همه اعداد را به عوامل اول تجزیه کرد. ک.م.م. برابر حاصل ضرب عوامل مشترک با توان بزرگتر و عوامل غیر مشترک می‌شود. همچنین می‌توان ک.م.م. را به کمک ب.م.م. تعریف نمود: از آنجا که ب م م دو عدد برابر با حاصل ضرب آنها تقسیم بر ک.م.م. آنها است، ک.م.م. دو عدد برابر با حاصل ضرب آنها تقسیم بر ب.م. م آنهاست:

$\operatorname {lcm} (a,b)={\frac {|a\cdot b|}{\gcd(a,b)}}$

از آنجا که ب.م.م. دو عدد شمارنده هر دو است، بهتر است اول تقسیم و سپاس ضرب کرد که بدین ترتیب ک.م.م. به این شکل تعریف خواهد شد:

$\operatorname {lcm} (a,b)=\left({|a| \over \gcd(a,b)}\right)\cdot |b|=\left({|b| \over \gcd(a,b)}\right)\cdot |a|.$

جستارهای وابسته

• بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک

منابع

• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2001), Prime Numbers: A Computational Perspective, New York: Springer, ISBN 0-387-94777-9
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1979), An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth edition), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853171-5
• Landau, Edmund (1966), Elementary Number Theory, New York: Chelsea
• Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.), Lexington: D. C. Heath and Company, LCCN 77-171950
• Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766