کوچکترین مضرب مشترک
در حساب و نظریه اعداد، کوچکترین مضرب مشترک (اختصاری ک. م. م) (به انگلیسی: Least Common Multiple) (اختصاری LCM) از دو عدد صحیح a و b را اغلب به صورت (LCM(a, b نمایش داده که کوچکترین عدد صحیح مثبتی است که بر هردوی a و b بخش پذیر میباشد.[۱][۲][۳] از آنجا که تقسیم بر صفر تعریف نشده، تعریف ک.م.م. تنها زمانی معنادار است که a و b هردو مخالف صفر باشند.[۴] با اینحال، برخی از مؤلفان را برای تمام aها برابر با صفر تعریف میکنند، به این دلیل که ک.م.م. را کوچکترین کران بالایی در مشبکه بخشپذیری تعریف مینمایند.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Symmetrical_5-set_Venn_diagram_LCM_2_3_4_5_7.svg/250px-Symmetrical_5-set_Venn_diagram_LCM_2_3_4_5_7.svg.png)
همچنین ک.م.م. را میتوان آن قبل از جمع، تفریق یا مقایسه کسرها به کار برد. ک.م.م. بیش از دو عدد صحیح نیز خوشتعریف است: در این حالت ک.م.م. برابر با کوچکترین عدد صحیح مثبتی است که بر هرکدام از آنها بخشپذیر باشد.[۲]
تعریف
ویرایشفرض کنید اعداد صحیح و ناصفر باشند. در میان مضربهای مشترک مثبت کوچکترین عدد را (که بنا بر اصل خوش ترتیبی وجود دارد.) کوچکترین مضرب مشترک مینامیم و آن را با نشان میدهیم.
قضیه
ویرایشاگر اعدادی صحیح و ناصفر باشند، هر مضرب مشترک آنها بر بخشپذیر است.
برهان: اگر مضرب مشترکی از باشد، بنابر الگوریتم تقسیم اعدادی صحیح مانند و وجود دارند که
(۱) و
از طرف دیگر و برای هر
بنابراین
یعنی مضربی مشترک از است. در نتیجه اگر ، آنگاه ، که با نابرابری سمت راست (۱) تناقض دارد بنابراین و
محاسبه ک.م.م.
ویرایشبرای محاسبه ک.م.م. میتوان همه اعداد را به عوامل اول تجزیه کرد. ک.م.م. برابر حاصل ضرب عوامل مشترک با توان بزرگتر و عوامل غیر مشترک میشود. همچنین میتوان ک.م.م. را به کمک ب.م.م. تعریف نمود: از آنجا که ب م م دو عدد برابر با حاصل ضرب آنها تقسیم بر ک.م.م. آنها است،[۵] ک.م.م. دو عدد برابر با حاصل ضرب آنها تقسیم بر ب.م. م آنهاست:
از آنجا که ب.م.م. دو عدد شمارنده هر دو است،[۱][۶][۷] بهتر است اول تقسیم و سپاس ضرب کرد که بدین ترتیب ک.م.م. به این شکل تعریف خواهد شد:
جستارهای وابسته
ویرایشارجاعات
ویرایش- ↑ ۱٫۰ ۱٫۱ "Comprehensive List of Algebra Symbols". Math Vault (به انگلیسی). 2020-03-25. Retrieved 2020-08-30.
- ↑ ۲٫۰ ۲٫۱ Weisstein, Eric W. "Least Common Multiple". mathworld.wolfram.com (به انگلیسی). Retrieved 2020-08-30.
- ↑ Hardy & Wright, § 5.1, p. 48
- ↑ (Long 1972، ص. 39)
- ↑ Slavin, Keith R. (2008). "Q-Binomials and the Greatest Common Divisor". INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory. University of West Georgia, Charles University in Prague. 8: A5. Retrieved 2008-05-26.
- ↑ (Long 1972، ص. 33)
- ↑ (Pettofrezzo و Byrkit 1970، ص. 34)
منابع
ویرایش- Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2001), Prime Numbers: A Computational Perspective, New York: Springer, ISBN 0-387-94777-9
- Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1979), An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth edition), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853171-5
- Landau, Edmund (1966), Elementary Number Theory, New York: Chelsea
- Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.), Lexington: D. C. Heath and Company, LCCN 77-171950
- Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766