اثر (جبر خطی)

در جبر خطی اثر (رد یا تریس (به انگلیسی: Trace)) یک ماتریس مربعی nدرn برابر است با حاصل‌جمع درایه‌های قطر اصلی آن یا به عبارت دیگر:

که aii درایه واقع بر سطر iم و ستون iم ماتریس A است. به بیان دیگر اثر یک ماتریس برابر مجموع ویژه‌مقادیر آن است. قابل ذکر است که اثر فقط برای ماتریس مربعی تعریف می‌شود.

قضیه کیلی-همیلتون نیز بیان می‌دارد که هر ماتریس در معادله سرشتنمایی خود صدق می‌کند.

مثالویرایش

اگر ماتریس T یک ماتریس مربعی باشد

 

آنگاه tr(T) = −۲ + ۱ − ۱ = −۲.

ویژگی‌هاویرایش

ویژگی‌های بنیادیویرایش

اثر یک عملگر خطی است:

 
 

برای هر ماتریس مربعی A و B و هر کمیت نرده‌ای c.

یک ماتریس و ترانهاده آن یک اثر دارند:

 .

اثر حاصلضربویرایش

اگر A یک ماتریس m×n و B یک ماتریس n×mباشد آنگاه:

 [۱]

ویژگی‌های دیگرویرایش

اگر A یک ماتریس متقارن و B یک ماتریس پادمتقارن باشد

 .

منابعویرایش

  1. This is immediate from the definition of matrix multiplication.