تبدیل ملین

تبدیل ملین (به انگلیسی: Mellin Transform) در ریاضیات یک تبدیل انتگرالی است که به صورت فرم ضربی تبدیل لاپلاس دوسویه در نظر گرفته می‌شود. این تبدیل انتگرالی بسیار به سری دیریچلت وابسته است و معمولاً از آن در نظریهٔ اعداد و نظریه سری‌های مجانبی مورد استفاده قرار می‌گیرد؛ تبدیل ملین به تبدیل‌های لاپلاس، فوریه و نظریه تابع گاما مرتبط است و جزو توابع مخصوص ریاضیات به‌شمار می‌آید.

تبدیل تابع $f$ توسط تبدیل ملین به شکل زیر صورت می‌گیرد:

$\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\varphi (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)dx.$

تبدیل معکوس نیز اینگونه تعریف می‌شود:

$\left\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds.$

فرمول نشان می‌دهد که این تبدیل یک انتگرال خطی بر روی یک خط عمودی در صفحه مختلط است.

نام این تبدیل از نام هیالمار ملین، ریاضیدان بزرگ فنلاندی گرفته شده‌است.

ارتباط با تبدیل‌های دیگر

تبدیل لاپلاس دوسویه را می‌توان به کمک تبدیل ملین به صورت زیر تعریف کرد:

$\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)$

و برعکس آن نیز به این ترتیب انجام می‌شود:

$\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)$

تبدیل فوریه را نیز می‌توان به وسیلهٔ تبدیل ملین به صورت زیر تعریف کرد:

$\left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-s)=\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(-is)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(-is)$

و عکس آن نیز از روش زیر امکان‌پذیر است:

$\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(-is)$

برای $c>0$ ، $\Re (y)>0$ و $y^{-s}$ بر روی شاخه اصلی، به دست می‌آید:

$e^{-y}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\Gamma (s)y^{-s}\;ds$

که در آن $\Gamma (s)$ تابع گاماست. این انتگرال با نام انتگرال کاهن-ملین شناخته شده است.^[۱]

یکی از کاربردهای مهم در نظریه اعداد تابع سادهٔ $f(x)={\begin{cases}0&x<1,\\x^{a}&x>1,\end{cases}}$ را شامل می‌شود که در آن داریم

${\mathcal {M}}f(s)=-{\frac {1}{s+a}}$

با فرض این‌که $\Re (s+a)<0$ .

↑ Hardy, G. H.; Littlewood, J. E. (1916). "Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes". Acta Mathematica. 41 (1): 119–196. doi:10.1007/BF02422942. (See notes therein for further references to Cahen's and Mellin's work, including Cahen's thesis.)

Galambos, Janos (2004). Products of random variables: applications to problems of physics and to arithmetical functions (به انگلیسی). Marcel Dekker, Inc.
Polyanin, A. D. (1998). Handbook of Integral Equations (به انگلیسی). CRC Press.
Flajolet, P.; Gourdon, X.; Dumas, P. (1995). "Mellin transforms and asymptotics: Harmonic sums". Theoretical Computer Science. 144 (1–2): 3–58.
Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
"Mellin transform", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Mellin Transform". MathWorld.