تبدیل ملین

تبدیل ملین (به انگلیسی: Mellin Transform) در ریاضیات یک تبدیل انتگرالی است که به صورت فرم ضربی تبدیل لاپلاس دوسویه در نظر گرفته می‌شود. این تبدیل انتگرالی بسیار به سری دیریچلت وابسته است و معمولاً از آن در نظریهٔ اعداد و نظریه سری‌های مجانبی مورد استفاده قرار می‌گیرد؛ تبدیل ملین به تبدیل‌های لاپلاس، فوریه و نظریه تابع گاما مرتبط است و جزو توابع مخصوص ریاضیات به‌شمار می‌آید.

تبدیل تابع توسط تبدیل ملین به شکل زیر صورت می‌گیرد:

تبدیل معکوس نیز اینگونه تعریف می‌شود:

فرمول نشان می‌دهد که این تبدیل یک انتگرال خطی بر روی یک خط عمودی در صفحه مختلط است.

نام این تبدیل از نام هیالمار ملین، ریاضیدان بزرگ فنلاندی گرفته شده‌است.

ارتباط با تبدیل‌های دیگرویرایش

تبدیل لاپلاس دوسویهویرایش

تبدیل لاپلاس دوسویه را می‌توان به کمک تبدیل ملین به صورت زیر تعریف کرد:

 

و برعکس آن نیز به این ترتیب انجام می‌شود:

 

تبدیل فوریهویرایش

تبدیل فوریه را نیز می‌توان به وسیلهٔ تبدیل ملین به صورت زیر تعریف کرد:

 

و عکس آن نیز از روش زیر امکان‌پذیر است:

 

مثالویرایش

انتگرال کاهن-ملینویرایش

برای  ،   و   بر روی شاخه اصلی، به دست می‌آید:

 

که در آن   تابع گاماست. این انتگرال با نام انتگرال کاهن-ملین شناخته شده است.[۱]

نظریهٔ اعدادویرایش

یکی از کاربردهای مهم در نظریه اعداد تابع سادهٔ   را شامل می‌شود که در آن داریم

 

با فرض این‌که  .

جستارهای وابستهویرایش

منابعویرایش

  1. Hardy, G. H.; Littlewood, J. E. (1916). "Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes". Acta Mathematica. 41 (1): 119–196. doi:10.1007/BF02422942. (See notes therein for further references to Cahen's and Mellin's work, including Cahen's thesis.)