تصادفی

تصادفی، اتّفاقی یا استوکاستیک (به انگلیسی: Stochastic) به سیستم‌هایی گفته می‌شود که رفتارشان قابل پیش‌بینی نیست. به معنای واضح‌تر می‌توان گفت قوانین و یا پارامترهایی در مسئلهٔ مورد بررسی ما نقش دارند که گاهی به دلیل پیچیدگی‌های فراوان و گاهی به دلیل عدم دانش کافی، قادر به بررسی آن‌ها نیستیم. به عنوان مثال برای فهم بهتر مطلب، پرتاب یک تاس را در نظر بگیرید: هیچ‌گاه شما نمی‌توانید قبل از پرتاب تاس، از عدد تاس رو شده مطمئن باشید. مثلاً بگویید: عدد رو شده ۵ خواهد بود. چون عوامل متعدّدی بر روی تاس اثر می‌گذارند. مانند: مقدار نیروی وارد بر تاس، سرعت پرتاب تاس، مقاومت و اصطکاک هوا، نحوهٔ چرخش تاس و بسیاری از عوامل دیگر، که فهمیدن و محاسبهٔ آن‌ها نیازمند فیزیک بسیار پیچیده‌ای است. از این رو چون نمی‎توانیم با قطعیّت بگوییم که عدد رو شده چند است، می‌گوییم: مقدار عدد رو شده در پرتاب تاس تصادفی است. امّا اگر روزی دستگاهی ساخته شود که همهٔ محاسبات را انجام دهد و عدد رو شده را به ما بدهد، آن‌گاه می‌گوییم عدد رو شده در پرتاب تاس تصادفی نیست.

چند مثال

چند مورد از پدیده‌‌های تصادفی در علوم مختلف:

• فیزیک-شیمی
• اقتصاد: یک معادله دیفرانسیل جزئی تصادفی برای قیمت گذاری اوراق بهادار تحت پوشش وام مسکن
• روانشناسی: خوشحالی یک پدیده تصادفی است

آزمایش‎های تصادفی

آزمایشی که تحت شرایط یکسان بتوان آن را تکرار کرد و نتیجهٔ آن قبل از انجام آزمایش معیّن نباشد را یک آزمایش تصادفی می‎نامیم.

مثال: پرتاب تاس، دمای بدن در حالت بیماری و ...

متغیّر تصادفی

از آنجا که پیشامدها، زیر مجموعه‌‎ای از فضای پیشامد در نظر گرفته می‌شوند، برای محاسبهٔ احتمال آن‌ها باید با محاسبات روی مجموعه‌ها سروکار داشته باشیم، که البته کار ساده‌ای نیست. در عوض می‌توان به کمک تعریف متغیّر تصادفی، احتمال بسیاری از پیشامدها را بر اساس الگوهای احتمالی قابل دسترس، محاسبه کرد زیرا بسیاری از پدیده‌های تصادفی دارای الگوهای مشخّصی هستند.

به عنوان مثال پرتاب سکّه را در نظر بگیرید: ۲ حالت وجود دارد، یا سکّه شیر بیاید یا خط. حال از تعریف بالا استفاده و متغیّر تصادفی X را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$$X={\begin{cases}0\qquad Tail\\1\qquad Head\\\end{cases}}$$

همان‌طور که مشاهده می‌کنید به هر کدام از رویداد‎های تصادفی (شیر یا خط آمدن)، یک مقدار نسبت دادیم و متغیّر تصادفی X را تعریف کردیم.

به بیان ریاضی متغیّر تصادفی را تابعی از فضای نمونه‌‎ای به اعداد حقیقی در نظر می گیریم:

$$f:\{S\longrightarrow R\}$$

نکتهٔ بسیار مهم این است که توجّه داشته باشیم، متغیّر تصادفی را که معمولاً با "حرف بزرگ" نشان می‌دهند با متغیّر جبری که معمولاً با "حرف کوچک" نشان داده می‌شود، اشتباه نگیریم.

متغیّر تصادفی مجموعه‌ای از مقادیر است که هر کدام از مقادیرش را می‌تواند اختیار کند و انتخاب شدنشان بستگی به احتمال وقوع آن‌ها دارد.

$$X=\{1,5,9,3\}\quad \longrightarrow Random\,Variable$$

$$x=4\longrightarrow Algebra\,Variable\,$$

انواع متغیّر تصادفی

1. پیوسته: زمانی که دوست شما در قرار بین ساعت ۱ و ساعت ۲ حاضر شود. $1<X<2$
2. گسسته: تعداد پلّه‌های راه‌پلّهٔ خانهٔ شما. $X=100$

احتمال وقوع یک متغیّر تصادفی

تعریف دقیق ریاضی آن به صورت زیر بیان می شود:

تابعی از فضای نمونه به بازهٔ [0,1] اعداد حقیقی که در اصول سه‌گانهٔ زیر صدق کنند:

1. احتمال رویداد حتمی، یک است.
2. احتمال هر رویداد، نامنفی است.
3. احتمال رویداد‎های ناسازگار برابر مجموع احتمال تک‌تک آن‌هاست.

جستارهای وابسته

• آمار
• فرایند تصادفی
• یافتن تصادفی

منابع

• نظام‌الدین فقیه, سیستم‌های پویا: اصول و تعیین هویت ۹۶۴-۴۵۹-۸۰۶-۷:شابک
• نظام‌الدین فقیه, مبانی شبیه‌سازی سیستمها ۹۶۴-۶۸۱۰-۰۶-۳:شابک
• نظام‌الدین فقیه, مهندسی تعمیرات و نگهداری