تصادفی

تصادفی، اتفاقی یا استوکاستیک (به انگلیسی: Stochastic) به سیستم‌هایی گفته می‌شود که رفتارشان قابل پیش‌بینی نیست. به معنای واضح‎تر می‎توان گفت قوانین و پارامترهایی در مسئلهٔ مورد بررسی ما نقش دارند که گاهی به دلیل پیچیدگی‎های فراوان و گاهی به دلیل عدم دانش کافی، قادر به بررسی آن‎ها نیستیم. به عنوان مثال، برای فهم بهتر مطلب پرتاب یک تاس را در نظر بگیرید. شما هیچگاه قبل از پرتاب تاس نمی‎توانید از عدد تاس رو شده مطمئن باشید، مثلاً بگویید: عدد رو شده ۵ خواهد بود چون عوامل متعددی بر روی تاس اثر می‎گذارند مانند: سرعت پرتاب تاس، نحوهٔ چرخش تاس و بسیاری از عوامل دیگر، که فهمیدن و محاسبهٔ آن‎ها نیازمند فیزیک بسیار پیچیده می‎باشد. از این رو چون نمی‎توانیم با قطعیّت بگوییم که عدد رو شده چند است می‎گوییم: مقدار عدد رو شده در پرتاب تاس تصادفی است. اما اگر روزی دستگاهی ساخته شود که همهٔ محاسبات را انجام دهد و عدد رو شده را به ما بدهد، آن گاه می‎گوییم عدد رو شده در پرتاب تاس تصادفی نیست.

چند مثال

چند مورد از پدیده‎های تصادفی در علوم مختلف:

• فیزیک-شیمی
• اقتصاد: یک معادله دیفرانسیل جزئی تصادفی برای قیمت گذاری اوراق بهادار تحت پوشش وام مسکن
• روانشناسی: خوشحالی یک پدیده تصادفی است

آزمایش‎های تصادفی

آزمایشی که تحت شرایط یکسان بتوان آن را تکرار کرد و نتیجهٔ آن قبل از انجام آزمایش معیّن نباشد را یک آزمایش تصادفی می‎نامیم.

مثال: پرتاب تاس، دمای بدن در حالت بیماری و ...

متغیّر تصادفی

از آنجا که پیشامدها، زیر مجموعه‎ای از فضای پیشامد در نظر گرفته می‎شوند، برای محاسبهٔ احتمال آن ها باید با محاسبات روی مجموعه ها سروکار داشته باشیم، که البته کار ساده ای نیست. در عوض می‎توان به کمک تعریف متغیّر تصادفی، احتمال بسیاری از پیشامد ها را بر اساس الگوهای احتمالی قابل دسترس، محاسبه کرد زیرا بسیاری از پدیده‎های تصافی دارای الگوهای مشخّصی هستند.

به عنوان مثال پرتاب سکّه را در نظر بگیرید: ۲ حالت وجود دارد، یا سکّه شیر بیاید یا خط. حال از تعریف بالا استفاده می‎کنیم و متغیّر تصادفی X را به صورت زیر تعریف می‎کنیم :

$$X={\begin{cases}0\qquad Tail\\1\qquad Head\\\end{cases}}$$

همانطور که مشاهده می‎کنید به هر کدام از رویداد‎های تصادفی (شیر یا خط آمدن)، یک مقدار نسبت دادیم و متغیّر تصادفی X را تعریف کردیم.

به بیان ریاضی متغیّر تصادفی را تابعی از فضای نمونه‎ای به اعداد حقیقی در نظر می گیریم:

$$f:\{S\longrightarrow R\}$$

نکتهٔ بسیار مهم این است که باید توجّه داشته باشیم، متغیّر تصادفی را که معمولاً با حرف بزرگ نشان می دهند با متغیّر جبری که معمولاً با حرف کوچک نشان داده می شود، اشتباه نگیریم. متغیّر تصادفی

مجموعه‎ای از مقادیر است که هر کدام از مقادیرش را می تواند اختیار کند و انتخاب شدنشان بستگی به احتمال وقوع آن ها دارد.

$$X=\{1,5,9,3\}\quad \longrightarrow Random\,Variable$$

$$x=4\longrightarrow Algebra\,Variable\,$$

انواع متغیّر تصادفی

1. پیوسته: زمانی که دوست شما در قرار بین ساعت ۱ و۲ حاضر شود. $1<X<2$
2. گسسته: تعداد پلّه‎های راه پلّهٔ خانهٔ شما. $X=100$

احتمال وقوع یک متغیّر تصادفی

تعریف دقیق ریاضی آن به صورت زیر بیان می شود:

تابعی از فضای نمونه به بازه [0,1] اعداد حقیقی که در اصول ۳ گانهٔ زیر صدق کنند :

1. احتمال رویداد حتمی یک است.
2. احتمال هر رویداد، نامنفی است.
3. احتمال رویداد‎های ناسازگار برابر مجموع احتمال تک تک آنهاست.

جستارهای وابسته

• آمار
• فرایند تصادفی

منابع

• نظام‌الدین فقیه, سیستم‌های پویا: اصول و تعیین هویت ۹۶۴-۴۵۹-۸۰۶-۷:شابک
• نظام‌الدین فقیه, مبانی شبیه‌سازی سیستمها ۹۶۴-۶۸۱۰-۰۶-۳:شابک
• نظام‌الدین فقیه, مهندسی تعمیرات و نگهداری