ثابت کاتالان

در ریاضیات، ثابت کاتالان $G$ تعریف می‌شود با

G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}-\cdots ,

که $β$ تابع بتا دیریکله است. مقدار عددی آن^[۱] تقریباً (دنباله A006752 در OEIS) است:

G = ۶۹۹۹۹۱۵۹۶۵۵۹۴۱۷۷۲۱۹♠ ۰٫۹۱۵ ۹۶۵ ۵۹۴ ۱۷۷ ۲۱۹ ۰۱۵ ۰۵۴ ۶۰۳ ۵۱۴ ۹۳۲ ۳۸۴ ۱۱۰ ۷۷۴ \dots

مسئله حل نشده در ریاضیات:

آیا ثابت کاتالان گنگ است؟ اگر چنین است، آیا متعالی است؟

(مسائل حل‌نشده بیشتر در ریاضیات)

معلوم نیست که $G$ عدد گنگ باشد، چه رسد به متعالی.^[۲] $G$ «را بی‌شک اساسی‌ترین ثابتی خوانده‌اند که گنگ و تعالی بودن آن (اگرچه شدیداً مشکوک باشد) ثابت نشده‌است».^[۳]

ثابت کاتالان به نام اوژن شارل کاتالان نامگذاری شد، وی سری سریعاً-همگرا را برای محاسبه آن پیدا کرد^[۴] و در سال ۱۸۶۵ خاطرات آن را منتشر کرد.^[۵]

کاربرد ویرایش

در توپولوژی بعد-پایین، ثابت کاتالان ۱/۴ حجم یک هشت وجهی ایده‌آل هذلولی و در نتیجه ۱/۴ حجم هذلولی مکمل پیوند وایتهد است.^[۶] ۱/۸ حجم مکمل حلقه‌های بورومین است.^[۷]

در مکانیک‌های آماری و ترکیبیاتی، این امر در ارتباط با شمارش کاشی‌کاری‌های دومینو،^[۸] درختان پوشا،^[۹] و چرخه‌های همیلتونی نمودارهای شبکه ایجاد می‌شود.^[۱۰]

در نظریه اعداد، ثابت کاتالان در یک فرمول حدس زده شده برای تعداد مجانب اعداد اول شکل $n^{2}+1$ ظاهر می‌شود مطابق حدس هاردی و لیتل‌وود اف. با این حال، این که حتی بی‌نهایت از اعداد اول این شکل وجود دارد، این یک مسئله حل نشده‌است (یکی از مشکلات لاندائو).^[۱۱]

ثابت کاتالان همچنین در محاسبه پخش جرم کهکشانهای مارپیچی ظاهر می‌شود.^[۱۲]^[۱۳]

ارقام شناخته شده ویرایش

در طول دهه‌های گذشته تعداد ارقام شناخته شده ثابت کاتالان $G$ به طرز چشمگیری افزایش یافته‌است. این امر هم به دلیل افزایش عملکرد رایانه‌ها و هم به دلیل پیشرفت‌های الگوریتمی است.^[۱۴]

تعداد ارقام اعشار شناخته شده از ثابت کاتالان $G$
تاریخ	رقم اعشار	محاسبه انجام شده توسط
۱۸۳۲	۱۶	توماس کلاوزن
۱۸۵۸	۱۹	کارل یوهان دانیلسون تپه
۱۸۶۴	۱۴	اوژن شارل کاتالان
۱۸۷۷	۲۰	جیمز دبلیوال گلیشر
۱۹۱۳	۳۲	جیمز دبلیوال گلیشر
۱۹۹۰	۲۰۰۰۰	گِرِگ جی. فی
۱۹۹۶	۵۰۰۰۰	گِرِگ جی. فی
۱۴ اوت ۱۹۹۶	۱۰۰۰۰۰	گِرِگ جی. فی و سیمون پلوف
۲۹ سپتامبر ۱۹۹۶	۳۰۰۰۰۰	توماس پاپانیکولائو
۱۹۹۶	۱۵۰۰۰۰۰	توماس پاپانیکولائو
۱۹۹۷	۳۳۷۹۹۵۷	پاتریک دمیشل
۴ ژانویه ۱۹۹۸	۱۲۵۰۰۰۰۰	خاویر گوردون
۲۰۰۱	۱۰۰۰۰۰۵۰۰	خاویر گوردون و پاسکال سبا
۲۰۰۲	۲۰۱۰۰۰۰۰۰	خاویر گوردون و پاسکال سبا
اکتبر ۲۰۰۶	۵۰۰۰۰۰۰۰۰۰	شیگرو کوندو و استیو پالیارلو^[۱۵]
اوت ۲۰۰۸	۱۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰	شیگرو کوندو و استیو پالیارلو^[۱۶]
۳۱ ژانویه ۲۰۰۹	۱۵۵۱۰۰۰۰۰۰۰	الکساندر جی و ریموند چان^[۱۷]
۱۶ آوریل ۲۰۰۹	۳۱۰۲۶۰۰۰۰۰۰	الکساندر جی و ریموند چان
۷ ژوئن ۲۰۱۵	۲۰۰۰۰۰۰۰۱۱۰۰	رابرت جی ستتی^[۱۸]
۱۲ آوریل ۲۰۱۶	۲۵۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰	رون واتکینز^[۱۸]
۱۶ فوریه ۲۰۱۹	۳۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰	تیزین هانسلمان^[۱۸]
۲۹ مارس ۲۰۱۹	۵۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰	مایک آ و ایان کاترس^[۱۸]
۱۶ ژوئیه ۲۰۱۹	۶۰۰۰۰۰۰۰۰۱۰۰	سونگمین کیم^[۱۹]^[۲۰]
۱۶ ژوئیه ۲۰۱۹	۶۰۰۰۰۰۰۰۰۱۰۰	رابرت رینولدز^[۲۱]

جستارهای وابسته ویرایش

منابع ویرایش

↑ Papanikolaou, Thomas (March 1997). "Catalan's Constant to 1,500,000 Places". Gutenberg.org.
↑ Nesterenko, Yu. V. (January 2016), "On Catalan's constant", Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 292 (1): 153–170, doi:10.1134/s0081543816010107.
↑ Bailey, David H.; Borwein, Jonathan M.; Mattingly, Andrew; Wightwick, Glenn (2013), "The computation of previously inaccessible digits of $\pi ^{2}$ and Catalan's constant", Notices of the American Mathematical Society, 60 (7): 844–854, doi:10.1090/noti1015, MR 3086394
↑ Goldstein, Catherine (2015), "The mathematical achievements of Eugène Catalan", Bulletin de la Société Royale des Sciences de Liège, 84: 74–92, MR 3498215
↑ Catalan, E. (1865), Mémoire sur la transformation des séries et sur quelques intégrales définies, Mémoires de l'Académie royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique (به فرانسوی), vol. 33, Brussels
↑ Agol, Ian (2010), "The minimal volume orientable hyperbolic 2-cusped 3-manifolds", Proceedings of the American Mathematical Society, 138 (10): 3723–3732, arXiv:0804.0043, doi:10.1090/S0002-9939-10-10364-5, MR 2661571.
↑ William Thurston (March 2002), "7. Computation of volume", The Geometry and Topology of Three-Manifolds, p. 165, archived from the original (PDF) on 27 July 2020, retrieved 29 April 2021
↑ Temperley, H. N. V.; Fisher, Michael E. (August 1961), "Dimer problem in statistical mechanics—an exact result", Philosophical Magazine, 6 (68): 1061–1063, doi:10.1080/14786436108243366
↑ Wu, F. Y. (1977), "Number of spanning trees on a lattice", Journal of Physics, 10 (6): L113–L115, doi:10.1088/0305-4470/10/6/004, MR 0489559
↑ Kasteleyn, P. W. (1963), "A soluble self-avoiding walk problem", Physica, 29: 1329–1337, doi:10.1016/S0031-8914(63)80241-4, MR 0159642
↑ Shanks, Daniel (1959), "A sieve method for factoring numbers of the form $n^{2}+1$ ", Mathematical Tables and other Aids to Computation, 13: 78–86, MR 0105784
↑ Wyse, A. B.; Mayall, N. U. (January 1942), "Distribution of Mass in the Spiral Nebulae Messier 31 and Messier 33.", The Astrophysical Journal, 95: 24–47, Bibcode:1942ApJ....95...24W, doi:10.1086/144370
↑ van der Kruit, P. C. (March 1988), "The three-dimensional distribution of light and mass in disks of spiral galaxies.", Astronomy & Astrophysics, 192: 117–127, Bibcode:1988A&A...192..117V
↑ Gourdon, X.; Sebah, P. "Constants and Records of Computation".
↑ "Shigeru Kondo's website". Archived from the original on 2008-02-11. Retrieved 2008-01-31.
↑ Constants and Records of Computation
↑ Large Computations
↑ ^۱۸٫۰ ^۱۸٫۱ ^۱۸٫۲ ^۱۸٫۳ Catalan's constant records using YMP
↑ Catalan's constant records using YMP
↑ Catalan's constant world record by Seungmin Kim
↑ A Definite Integral Involving the Logarithmic Function in Terms of the Lerch Function by Robert Reynolds and Allan Stauffer

بیشتر خواندن ویرایش

Adamchik, Victor (2002). "A certain series associated with Catalan's constant". Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen. 21 (3): 1–10. doi:10.4171/ZAA/1110. MR 1929434. Archived from the original on 16 March 2010. Retrieved 29 April 2021.
Fee, Gregory J. (1990). "Computation of Catalan's Constant Using Ramanujan's Formula". In Watanabe, Shunro; Nagata, Morio (eds.). Proceedings of the International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, ISSAC '90, Tokyo, Japan, August 20-24, 1990. ACM. pp. 157–160. doi:10.1145/96877.96917. ISBN 0-201-54892-5. S2CID 1949187.
Bradley, David M. (1999). "A class of series acceleration formulae for Catalan's constant". The Ramanujan Journal. 3 (2): 159–173. arXiv:0706.0356. doi:10.1023/A:1006945407723. MR 1703281.
Bradley, David M. (2007). "A class of series acceleration formulae for Catalan's constant". The Ramanujan Journal. 3 (2): 159–173. arXiv:0706.0356. Bibcode:2007arXiv0706.0356B. doi:10.1023/A:1006945407723.

پیوند به بیرون ویرایش

Adamchik, Victor. "33 representations for Catalan's constant". Archived from the original on 2016-08-07.
Plouffe, Simon (1993). "A few identities (III) with Catalan". Archived from the original on 2019-06-26. (Provides over one hundred different identities).
Plouffe, Simon (1999). "A few identities with Catalan constant and Pi^2". Archived from the original on 2019-06-26. (Provides a graphical interpretation of the relations)
Fee, Greg (1996). "Catalan's Constant (Ramanujan's Formula)". (Provides the first 300,000 digits of Catalan's constant)
Bradley, David M. (2001), Representations of Catalan's constant
Johansson, Fredrik. "0.915965594177219015054603514932". Ordner, a catalog of real numbers in Fungrim.
"Catalan's Constant". YouTube. Let's Learn, Nemo!. 10 August 2020.
Weisstein, Eric W. "Catalan's Constant". MathWorld.
Catalan constant: Series representations at the ولفرم ریسرچ Functions Site
"Catalan constant", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Papanikolaou, Thomas (March 1997). "Catalan's Constant to 1,500,000 Places". Gutenberg.org.

[2] Nesterenko, Yu. V. (January 2016), "On Catalan's constant", Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 292 (1): 153–170, doi:10.1134/s0081543816010107.

[3] Bailey, David H.; Borwein, Jonathan M.; Mattingly, Andrew; Wightwick, Glenn (2013), "The computation of previously inaccessible digits of $\pi ^{2}$ and Catalan's constant", Notices of the American Mathematical Society, 60 (7): 844–854, doi:10.1090/noti1015, MR 3086394

[4] Goldstein, Catherine (2015), "The mathematical achievements of Eugène Catalan", Bulletin de la Société Royale des Sciences de Liège, 84: 74–92, MR 3498215

[5] Catalan, E. (1865), Mémoire sur la transformation des séries et sur quelques intégrales définies, Mémoires de l'Académie royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique (به فرانسوی), vol. 33, Brussels

[6] Agol, Ian (2010), "The minimal volume orientable hyperbolic 2-cusped 3-manifolds", Proceedings of the American Mathematical Society, 138 (10): 3723–3732, arXiv:0804.0043, doi:10.1090/S0002-9939-10-10364-5, MR 2661571.

[7] William Thurston (March 2002), "7. Computation of volume", The Geometry and Topology of Three-Manifolds, p. 165, archived from the original (PDF) on 27 July 2020, retrieved 29 April 2021

[8] Temperley, H. N. V.; Fisher, Michael E. (August 1961), "Dimer problem in statistical mechanics—an exact result", Philosophical Magazine, 6 (68): 1061–1063, doi:10.1080/14786436108243366

[9] Wu, F. Y. (1977), "Number of spanning trees on a lattice", Journal of Physics, 10 (6): L113–L115, doi:10.1088/0305-4470/10/6/004, MR 0489559

[10] Kasteleyn, P. W. (1963), "A soluble self-avoiding walk problem", Physica, 29: 1329–1337, doi:10.1016/S0031-8914(63)80241-4, MR 0159642

[11] Shanks, Daniel (1959), "A sieve method for factoring numbers of the form $n^{2}+1$ ", Mathematical Tables and other Aids to Computation, 13: 78–86, MR 0105784

[12] Wyse, A. B.; Mayall, N. U. (January 1942), "Distribution of Mass in the Spiral Nebulae Messier 31 and Messier 33.", The Astrophysical Journal, 95: 24–47, Bibcode:1942ApJ....95...24W, doi:10.1086/144370

[13] van der Kruit, P. C. (March 1988), "The three-dimensional distribution of light and mass in disks of spiral galaxies.", Astronomy & Astrophysics, 192: 117–127, Bibcode:1988A&A...192..117V

[14] Gourdon, X.; Sebah, P. "Constants and Records of Computation".

[15] "Shigeru Kondo's website". Archived from the original on 2008-02-11. Retrieved 2008-01-31.

[16] Constants and Records of Computation

[yee_chan-17] Large Computations

[setti-18] ۱۸٫۰ ^۱۸٫۱ ^۱۸٫۲ ^۱۸٫۳ Catalan's constant records using YMP

[yee-19] Catalan's constant records using YMP

[kim-20] Catalan's constant world record by Seungmin Kim

[rob-21] A Definite Integral Involving the Logarithmic Function in Terms of the Lerch Function by Robert Reynolds and Allan Stauffer

[۱]

[۲]

[۳]

[۴]

[۵]

[۶]

[۷]

[۸]

[۹]

[۱۰]

[۱۱]

[۱۲]

[۱۳]

[۱۴]

[۱۵]

[۱۶]

[۱۷]

[۱۸]

[۱۹]

[۲۰]

[۲۱]