دستگاه اعداد دودویی

دستگاه اعداد دودویی یا دستگاه اعداد باینری (به انگلیسی: Binary) هر عدد را به‌وسیله دو رقم ۰ و ۱ نشان می‌دهند. این حالت نمایش اعداد را نمایش اعداد در مبنای دو نیز می‌نامند.

این شمارنده نشان می دهد که اعداد ۰ تا ۳۱ در مبنای ۲ چگونه نمایش داده می شوند.

شیوهٔ نمایش

یک عدد در مبنای دو به‌وسیله تعدادی ۰ و ۱ پشت سر هم نشان داده می‌شود. در رایانه‌ها، اعداد دودویی با دو سطح ولتاژ مختلف نمایش داده می‌شوند؛ دلیل این امر آنست که پیاده‌سازی این سیستم توسط تجهیزات الکترونیکی بسیار ساده‌تر از دیگر سیستم‌های عددی است. مثلاً برای پیاده‌سازی این سیستم ممکن است ولتاژ ۵- به‌عنوان «صفر» در نظر گرفته شود و ولتاژ ۵+ به‌عنوان «یک» (حالت دو قطبی) یا ولتاژ صفر به‌عنوان «صفر» و ولتاژ ۵+ به‌عنوان «یک» (حالت دودویی) در نظر گرفته شود. در دیسکهای مغناطیسی نیز از نقاط دارای مغناطیس (یک) و بدون آن (صفر) برای نمایش داده‌ها و اعداد استفاده می‌شود.

تبدیل دودویی به ده‌دهی و برعکس

تبدیل از ده‌دهی به دودویی

یکی از روش‌های تبدیل از مبنای ده‌دهی به دودویی تقسیم متوالی بر عدد دو است. که طی آن باقی‌مانده‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرند. تقسیمات را تا صفر شدن خارج‌قسمت انجام می‌دهیم. در نهایت آخرین خارج قسمت و بعد از آن باقی‌مانده‌ها را از آخر به اول کنار همدیگر قرار می‌دهیم. عدد بدست آمده معادل دودویی خواهد بود.

تبدیل از دودویی به ده‌دهی

ابتدا ارزش مکانی رقم‌ها را محاسبه نموده بدین طریق که رقم اول از سمت راست در جایگاه $(2)^{0}$ ورقم دوم در جایگاه $(2)^{1}$ و.... می‌باشند. سپس هر کدام از رقم‌ها را در ارزش مکانیش ضرب کرده و همه را با هم جمع می‌کنیم(جمع در مبنای ده) عدد به دست آمده در مبنای ده و برابر عدد ابتدایی در مبنای دو است.

مثال:

100101₂ = [ ( 1 ) × 2⁵ ] + [ ( 0 ) × 2⁴ ] + [ ( 0 ) × 2³ ] + [ ( 1 ) × 2² ] + [ ( 0 ) × 2¹ ] + [ ( 1 ) × 2⁰ ]

100101₂ = [ 1 × 32 ] + [ 0 × 16 ] + [ 0 × 8 ] + [ 1 × 4 ] + [ 0 × 2 ] + [ 1 × 1 ]

100101₂ = 37₁₀

اعمال ریاضی در اعداد دو دویی

جمع

نوشتار اصلی: جمع کننده

مداری که دو عدد یک بیتی را جمع می زند و دو بر یک را نیز حساب می کند.

ساده ترین عملیات ریاضی در باینری جمع است. جمع دو عدد دودویی تک رقمی نسبتا ساده است.

0 + 0 → 0

0 + 1 → 1

1 + 0 → 1

1 + 1 → 0, یک 1 به ستون بعد می رود (زیرا 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2¹) )

برای جمع کردن اعداد چند رقمی، از روشی مثل روش ده بر یک استفاده می کنیم و به آن دو بر یک می گوییم. یعنی اگر جمع در یکی از ارقام بزرگ تر یا مساوی دو شد، به رقم بعدی یک واحد اضافه می کنیم.

به این روش حمل کردن نیز می گویند. یعنی اگر مقدار یک رقم از عدد مبنا بزرگتر شود، یک یک به رقم بعدی حمل می شود. این روش در هر مبنایی ( از جمله ۲ و ۱۰ ) قابل اجراست.

   1 1 1 1 1    (ارقام حمل شده)
     0 1 1 0 1
 +   1 0 1 1 1
 -------------
 = 1 0 0 1 0 0 = 36

در این مثال، دو عدد جمع شده 01101₂ (13₁₀) و 10111₂ (23₁₀) هستند. سطر بالا بیت های حمل شده را نشان می دهد. در ابتدا در راست ترین ستون، نتیجه ۲ است پس جواب در آن رقم صفر می شود و یک واحد به رقم بعد حمل می شود. در ستون دوم جمع ۱ است و با آن رقم حمل شده جمع ۲ می شود. پس به طور مشابه نتیجه ۰ و یک واحد به رقم بعد حمل می شود. در رقم بعد نتیجه ۳ است، جواب یک و یک واحد هم دو بر یک اتفاق می افتد. اگر به همین ترتیب ادامه دهیم، جواب برابر ۳۶ خواهد شد.

ساعت باینری

نحوه خواندن ساعت باینری

ساعت باینری زمان را طبق اصول باینری نشان می‌دهد، ساعت،دقیقه و ثانیه در سه ستون با چهار سطر نشان داده می‌شود،مطابق شکل سطر اول رقم ۱، سطر دوم ۲، سطر سوم ۴، و سطر آخر رقم ۸ است، ستون سمت چپ رقم دهگان و ستون سمت راست رقم یکان را نشان می‌دهد که با جمع ارقام هر ستون و جمع بندی آن‌ها با هم عدد ساعت،دقیقه و ثانیه به دست می‌آید.

جستارهای وابسته

• دستگاه اعداد پایه ۸ (به انگلیسی: Octal)
• دستگاه اعداد پایه ۱۶ (به انگلیسی: Hexadecimal)
• باینری انگشتی (به انگلیسی: Finger binary)
• مکمل دو ( به انگلیسی: Two's complement )

منابع

bestbinary

• Chenier's Practical Math Dictionary by Norman J. Chenier