نظریه آشوب

شاخه‌ای از ریاضیات که به مطالعه سیستم‌های دینامیکی بسیار حساس به شرایط اولیه می‌پردازد
(تغییرمسیر از سامانه بی نظم)

نظریه آشوب (به انگلیسی: Chaos Theory)، شاخه ای از ریاضیات است که بر روی مطالعه سامانه‌های پویای آشوبناک متمرکز است، سامانه‌هایی که حالات بی‌نظم و بدون ترتیبش ظاهراً تصادفی بوده اما در عمل تحت حاکمیت الگوها و قوانین قطعی پنهانیست که به شدت نسبت به شرایط اولیه حساسند.[۱][۲] نظریه آشوب شاخه ای بین رشته ایست که بیان می‌دارد: در سامانه‌های پیچیده با وجود تصادفی بودن ظاهری، الگوها، درون-پیوستگی‌ها، حلقه‌های بازخوردی، تکرار، خودهمانندی، فراکتال‌ها، و خود-سازماندهی وجود دارد.[۳] اثر پروانه‌ای، اصل زیربنایی نظریه آشوب بوده و به توصیف این پدیده می‌پردازد که چگونه تغییرات کوچک در یک سامانه قطعی و غیرخطی می‌تواند منجر به اختلافات بزرگی در یکی از حالات بعدی شود (یعنی وابستگی حساس بر روی شرایط آغازین).[۴] استعاره ای از این رفتار، پروانه ای است که در تگزاس بال می‌زند قادر به ایجاد طوفانی در چین است.[۵]

نموداری از جاذب لورنتس برای مقادیر .
پویانمایی از آونگ دو-میله‌ای که در انرژی میانی رفتار آشوبناکی از خود بروز می‌دهد. هنگامی که شرایط آغازین آونگ کمی متفاوت شوند، مسیر حرکتش بسیار متفاوت خواهد شد. آونگ دو-میله‌ای یکی از ساده‌ترین سامانه‌های دینامیکی با حل‌های آشوبناک است.

تغییرات کوچکی در شرایط اولیه، همچون تغییرات ناشی از خطاهای اندازه‌گیری ناشی از گرد کردن اعداد در محاسبات، می‌تواند باعث واگرایی گسترده خروجی‌های چنین سامانه‌هایی شده به گونه ای که پیش‌بینی بلند مدت رفتارشان را در حالت کلی غیرممکن می‌سازد.[۶] با بوجودی که این سامانه‌ها قطعی هستند، ممکن است چنین اتفاقی روی دهد. قطعی بودن به این معناست که رفتار آیندشان از سیر تکاملی منحصر بفردی تبعیت کرده[۷] و به‌طور کامل از طریق شرایط اولیه تعیین شده و هیچ نوع از عناصر تصادفی در تعیین آن دخیل نیست.[۸] به بیانی دیگر، طبیعت قطعی این سامانه‌ها، باعث پیش‌بینی پذیر شدنشان نیست.[۹][۱۰] به این نوع رفتار آشوب قطعی یا صرفاً آشوب می‌گویند. این نظریه توسط ادوارد لورنتس به این صورت خلاصه شد:[۱۱]

آشوب: هنگامی که حال، آینده را تعیین می‌کند، اما حالِ تقریبی نتواند به‌طور تقریبی آینده را تعیین کند.

رفتار آشوبناک در بسیاری از سامانه‌های طبیعی شامل این موارد وجود دارد: جریان سیال، بی‌نظمی‌های تپش قلب، آب و هوا و اقلیم.[۱۲][۱۳][۷] همچنین این پدیده به صورت خود-به-خودی در برخی از سامانه‌هایی با مؤلفه‌های مصنوعی نیز همچون بازار سهام و ترافیک جاده‌ها نیز رخ می‌دهد.[۱۴][۳] این رفتار را می‌توان از طریق تحلیل مدل ریاضیاتی، با کمک فنون تحلیلی چون نمودارهای بازگشتی و نگاشت‌های پوانکاره مورد مطالعه قرار داد. نظریه آشوب در شاخه‌های متنوعی شامل این موارد کاربرد دارد: هواشناسی،[۷] انسان‌شناسی،[۱۵] جامعه‌شناسی،[۱۶] علوم محیطی، علوم رایانه، مهندسی، اقتصاد، بوم‌شناسی، مدیریت بحران همه‌گیری جهانی،[۱۷][۱۸] و فلسفه. این نظریه پایه شاخه‌های علمی چون سامانه‌های پویای پیچیده، نظریه مرز آشوب و فرایندهای خودسامانی را پی ریزی کرد.

مقدمهویرایش

یک سیستم جوی ساده را در نظر بگیرید. تابع   برای تخمین دمای فردا از روی دمای امروز در دست است. اوربیت یک نقطهٔ تحت یک تابع از مجموعه اتفاقاتی است که در اثرِ تکرار تابع (دینامیک) برای آن نقطه می‌افتد. مثلاً، اُربیت نقطهٔ ۱ تحت این تابع این است که ۱ ابتدا ۳ و سپس ۵ و بعد ۷ و … می‌شود. مهم‌ترین گونه مدارها نقطه ثابت است که هرگز تحت اجرای تابع تغییر نمی‌کند، ولی تابع ما چنین نقطه‌ای ندارد. حال   را در نظر بگیرید. این تابع ما را به دنیای آشوب می‌برَد. به نظر می‌رسد مدارهای تمام نقاط به بی‌نهایت میل می‌کنند. باید اشاره شود که نقاط پایانی هر بازه‌ای روی این تابع ثابت‌اند. با اجرای تابع و ادامه دادن آن می‌بینیم که تمام نقاط داخل بازه به بی‌نهایت میل می‌کنند، ولی حدود بازه همچنان متناهی‌اند. این رفتار آشوب گونه است. مثلث سرپینسکی و پوست مار کخ دو فراکتال یا برخال معروف‌اند. در مورد پوست مار کخ جالب این است که ناحیهٔ متناهی دارد، ولی پارامترش نامتناهی است. می‌توان سطح خود تشابهی در فراکتال‌ها را با مفهوم جدیدی از بُعد اندازه‌گیری کرد که مبتنی بر تعداد کپی‌های مجموعه‌های خودمتشابه در فراکتال و میزان بزرگ‌نمایی هر مجموعه است. یعنی بُعد فراکتالیِ یک مجموعه از تقسیم لگاریتم تعداد کپی‌ها به لگاریتم بزرگنمایی به دست می‌آید. این مقدار برای مثلث سرپینسکی ۱٫۵۸۴ و برای پوست مار کخ ۱٫۲۶۱ است.

تاریخچهویرایش

این نظریه گسترش خود را بیشتر مدیون کارهای هانری پوانکاره، ادوارد لورنتس، بنوا مندلبروت و مایکل فیگن‌باوم است. پوانکاره اولین کسی بود که اثبات کرد مسئله سه جرم (به عنوان مثال، خورشید، زمین، ماه) مسئلهٔ آشوبی و غیرقابل حل است. شاخهٔ دیگر از نظریهٔ آشوب که در مکانیک کوانتومی به کار می‌رود، آشوب کوانتومی نام دارد. گفته می‌شود که پیر لاپلاس و عمر خیام قبل از پوانکاره، به این مسئله و پدیده پی برده بودند.

اولین آزمایش واقعی در زمینهٔ آشوب را یک هواشناس به نام ادوارد لورنتس انجام داد. در سال ۱۹۶۰، وی روی یک مسئلهٔ پیش‌بینی وضع هوا کار می‌کرد؛ و روی کامپیوترش ۱۲ معادله برای پیش‌بینی وضع هوا در نظر گرفته بود. این معادله‌ها وضعِ هوا را پیش‌بینی نمی‌کرد، ولی این برنامهٔ کامپیوتری به‌طور نظری پیش‌بینی می‌کرد که هوا چگونه می‌تواند باشد. او می‌خواست دنبالهٔ مشخصی را دوباره ببیند. برای کاهش زمان، وی به جای شروع از اول، از وسط دنباله شروع کرد. او عددی را وارد کرد که دفعهٔ قبل از دنباله در دست داشت و کامپیوتر را برای پردازش رها نمود و رفت. وقتی یک ساعت بعد برگشت، دنباله به صورتی متفاوت از دفعهٔ قبل پیشرفت کرده بود. به جای حالت قبلی، الگوی جدید آن واگرا می‌شد و در آخر شکلی کاملاً به هم ریخته نسبت به اولی پیدا می‌کرد. بالاخره فهمید که مشکل کار کجاست. کامپیوتر تا ۶ رقم اعشار را در خود ذخیره می‌کرد و برای این‌که کاغذ کمتری مصرف کند، فقط تا ۳ رقم اعشار را برای خروجی در نظر گرفته بود. در الگوی اولیه، عدد به‌دست آمده در اصل۵۰۶۱۲۷/۰ بود، ولی برای حالت بعدی فقط ۵۰۶/۰ را وارد کرد. براساس تمام ایده‌های آن زمان، این دنباله باید شبیه یا خیلی نزدیک به حالت اولیه می‌شد. رقم‌های پنجم و ششم، که برای بعضی از روش‌ها غیرقابل اندازه‌گیری هستند، نمی‌توانند تأثیر زیادی روی خروجی داشته باشند. لورنز این باور را رد کرد. این اثر به عنوان اثر پروانه‌ای شناخته شد. مقدار تفاوت بین نقاط شروع دو نمودار آن‌قدر کم است، که به اندازهٔ بال زدن یک پروانه می‌تواند باشد؛ بال زدن یک پروانه تغییر بسیار اندکی در وضعیت اتمسفر ایجاد می‌کند. در طول یک دوره، اتمسفر از حالتی که باید می‌بود، عملاً دور می‌شود. به همین دلیل، در طول یک دوره، یک گردباد که قرار بود سواحل اندونزی را تخریب کند، هیچ وقت اتفاق نمی‌افتد یا ممکن است گردبادی رخ دهد که اصلاً قرار نبود اتفاق بیفتد. این پدیده به عنوانِ حساسیت بالا به شرایط اولیه نیز شناخته شده‌است. *[۱]

جستارهای وابستهویرایش

منابعویرایش

  1. "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Chaos". Math Vault. 2019-08-01. Retrieved 2019-11-24.
  2. "chaos theory | Definition & Facts". Encyclopedia Britannica. Retrieved 2019-11-24.
  3. ۳٫۰ ۳٫۱ "What is Chaos Theory? – Fractal Foundation". Retrieved 2019-11-24.
  4. Weisstein, Eric W. "Chaos". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-11-24.
  5. Boeing, Geoff. "Chaos Theory and the Logistic Map". Retrieved 2020-05-17.
  6. Kellert, Stephen H. (1993). In the Wake of Chaos: Unpredictable Order in Dynamical Systems. University of Chicago Press. p. 32. ISBN 978-0-226-42976-2.
  7. ۷٫۰ ۷٫۱ ۷٫۲ Bishop, Robert (2017), "Chaos", in Zalta, Edward N., The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2017 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, retrieved 2019-11-24
  8. Kellert 1993, p. 56
  9. Kellert 1993, p. 62
  10. Werndl, Charlotte (2009). "What are the New Implications of Chaos for Unpredictability?". The British Journal for the Philosophy of Science. 60 (1): 195–220. arXiv:1310.1576. doi:10.1093/bjps/axn053. S2CID 354849.
  11. Danforth, Christopher M. (April 2013). "Chaos in an Atmosphere Hanging on a Wall". Mathematics of Planet Earth 2013. Retrieved 12 June 2018.
  12. Lorenz, Edward N. (1963). "Deterministic non-periodic flow". Journal of the Atmospheric Sciences. 20 (2): 130–141. Bibcode:1963JAtS...20..130L. doi:10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2.
  13. Ivancevic, Vladimir G.; Tijana T. Ivancevic (2008). Complex nonlinearity: chaos, phase transitions, topology change, and path integrals. Springer. ISBN 978-3-540-79356-4.
  14. Safonov, Leonid A.; Tomer, Elad; Strygin, Vadim V.; Ashkenazy, Yosef; Havlin, Shlomo (2002). "Multifractal chaotic attractors in a system of delay-differential equations modeling road traffic". Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 12 (4): 1006–1014. Bibcode:2002Chaos..12.1006S. doi:10.1063/1.1507903. ISSN 1054-1500. PMID 12779624.
  15. Mosko M.S. , Damon F.H. (Eds.) (2005). On the order of chaos. Social anthropology and the science of chaos. Oxford: Berghahn Books.
  16. Hubler, A (1989). "Adaptive control of chaotic systems". Swiss Physical Society. Helvetica Physica Acta 62: 339–342.
  17. Piotrowski, Chris. "Covid-19 Pandemic and Chaos Theory: Applications based on a Bibliometric Analysis". researchgate.net. Retrieved 2020-05-13.
  18. Weinberger, David (2019). Everyday Chaos - Technology, Complexity, and How We're Thriving in a New World of Possibility. Harvard Business Review Press. ISBN 978-1-63369-396-8.

برای مطالعه بیشترویرایش

مقالاتویرایش

کتب درسیویرایش

آثار نیمه-فنی و عرفیویرایش

پیوند به بیرونویرایش