عدد ترتیبی

در نظریه مجموعه‌ها، عدد ترتیبی (به انگلیسی: Ordinal Number) تعمیم مفهوم اعداد طبیعی است که برای توصیف راهی برای مرتب‌سازی گردایه ای از اشیاء به کار می‌رود. هر گردایه متناهی از اعداد را می‌توان صرفاً با فرایند شمردن مرتب کرد، یعنی برچسب زنی اشیاء با اعداد طبیعی متمایز؛ لذا اعداد ترتیبی «برچسب» های مورد نیاز برای مرتب کردن گردایه ای از اشیاء به کار می‌رود.

نمایش اعداد ترتیبی تا $\omega ^{\omega }$. هر دور از این مارپیچ مایشگر یک توان از $\omega$ است.

یک عدد ترتیبی برای توصیف نوع ترتیب یک مجموعه خوش-ترتیب به کار می‌رود (گرچه که این تعریف برای کلاس‌های محض خوش ترتیب کار نمی‌کند). یک مجموعه خوش ترتیب مجموعه ای با رابطه> است چنان‌که:

• (تثلیث) برای هر دو عنصر x و y دقیقاً یکی از این گزاره‌ها درست باشد:
  • x>y
  • x=y
  • y>x
• (تعدی) برای هر سه عنصر x, y, z اگر x>y و y>z باشد آنگاه x>z.
• (خوش-بنیانی) هر زیر مجموعه ناتهی دارای کوچک‌ترین عنصر است، یعنی عنصری چون x دارد چنان‌که هیچ عنصر دیگری چون y در زیر مجموعه وجود ندارد که x>y.

دو مجموعه خوش-ترتیب دارای یک سنخ ترتیبی است اگر و تنها اگر تناظر دو سویه از یک مجموعه به دیگری وجود داشته باشد که رابطه اولین مجموعه را به رابطه مجموعه دوم تبدیل کند.

در حالی که اعداد ترتیبی برای مرتب‌سازی اشیاء یک گردایه مفید اسند، آن‌ها متمایز از اعداد اصلی (کاردینال) اند. اعداد اصلی برای گزارش تعداد اشیاء یک گردایه به کار می‌روند. گرچه که تمایز بین اعداد ترتیبی و اصلی در مجموعه‌های متناهی همیشه مشهود نیست، اعداد ترتیبی نامتناهی مختلفی را می‌توان برای توصیف مجموعه ای با یک عدد اصلی به کار برد. اعداد ترتیبی هم مثل انواع دیگر اعداد می‌توان جمع، ضرب کرد یا به توان رسانید، گرچه که هیچ‌کدام از این عملیات برای اعداد ترتیبی جابجاپذیر نیستند.

اعداد ترتیبی توسط جورج کانتور در ۱۸۸۳، برای تطبیق با دنباله‌های متناهی و همچنین دسته‌بندی مجموعه‌های مشتق شده، که قبلاً در ۱۸۷۲ هنگام مطالعه یکتایی دنباله‌های مثلثاتی معرفی شده بودند، معرفی گشت.

منابع

• Cantor, Georg (1883), "Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten. 5.", Mathematische Annalen, 21 (4): 545–591, doi:10.1007/bf01446819. Published separately as: Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre.
• Cantor, Georg (1897), "Beitrage zur Begrundung der transfiniten Mengenlehre. II", Mathematische Annalen, 49 (2): 207–246, doi:10.1007/BF01444205 English translation: Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers II.
• Conway, John H.; Guy, Richard (2012) [1996], "Cantor's Ordinal Numbers", The Book of Numbers, Springer, pp. 266–7, 274, ISBN 978-1-4612-4072-3
• Dauben, Joseph (1979), Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Harvard University Press, ISBN 0-674-34871-0.
• Ewald, William B., ed. (1996), From Immanuel Kant to David Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, Volume 2, Oxford University Press, ISBN 0-19-850536-1.
• Ferreirós, José (1995), "'What fermented in me for years': Cantor's discovery of transfinite numbers", Historia Mathematica, 22: 33–42, doi:10.1006/hmat.1995.1003.
• Ferreirós, José (2007), Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Mathematical Thought (2nd revised ed.), Birkhäuser, ISBN 3-7643-8349-6.
• Hallett, Michael (1986), Cantorian Set Theory and Limitation of Size, Oxford University Press, ISBN 0-19-853283-0.
• Hamilton, A. G. (1982), "6. Ordinal and cardinal numbers", Numbers, Sets, and Axioms: the Apparatus of Mathematics, New York: Cambridge University Press, ISBN 0-521-24509-5.
• Kanamori, Akihiro (2012), "Set Theory from Cantor to Cohen" (PDF), in Gabbay, Dov M.; Kanamori, Akihiro; Woods, John H. (eds.), Sets and Extensions in the Twentieth Century, Cambridge University Press, pp. 1–71, ISBN 978-0-444-51621-3.
• Levy, A. (2002) [1979], Basic Set Theory, Springer-Verlag, ISBN 0-486-42079-5.
• Jech, Thomas (2013), Set Theory (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3-662-22400-7.
• Sierpiński, W. (1965), Cardinal and Ordinal Numbers (2nd ed.), Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe Also defines ordinal operations in terms of the Cantor Normal Form.
• Suppes, Patrick (1960), Axiomatic Set Theory, D.Van Nostrand, ISBN 0-486-61630-4.
• Tait, William W. (1997), "Frege versus Cantor and Dedekind: On the Concept of Number" (PDF), in William W. Tait (ed.), Early Analytic Philosophy: Frege, Russell, Wittgenstein, Open Court, pp. 213–248, ISBN 0-8126-9344-2.
• von Neumann, John (1923), "Zur Einführung der transfiniten Zahlen", Acta litterarum ac scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio scientiarum mathematicarum, 1: 199–208, archived from the original on 18 December 2014, retrieved 12 November 2019
• von Neumann, John (January 2002) [1923], "On the introduction of transfinite numbers", in Jean van Heijenoort (ed.), From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 (3rd ed.), Harvard University Press, pp. 346–354, ISBN 0-674-32449-8 - English translation of (von Neumann 1923).

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Ordinal Number». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱۱ نوامبر ۲۰۱۹.