تابع نمایی

تابع نِمایی یا نموی (به انگلیسی: Exponential function) تابعی مهم در ریاضیات است و معمولاً به‌صورت ‎$\exp(x)$‎ یا $e^{x}$ نوشته می‌شود که $e$ عدد اویلر(ثابت نپر) با مقدارِ تقریبی ۲٫۷۱۸۲۸۱۸۲۸ است.

تابع نمائی $y=e^{x}$

در واقع، تابع لگاریتم عکس تابع نمایی است.

البته، این تابع را می‌توان به صورت $a^{x}$ نیز تعریف کرد. استفاده از لگاریتم نشان می‌دهد که:

$\,\!\,a^{x}=(e^{\ln a})^{x}=e^{x\ln a}$

این تابع را تابع نمایی با پایهٔ $a$ می‌خوانیم که $a$ عددی ثابت است.

در بسیاری از علوم وقتی از تابع نمایی صحبت می‌شود، منظور تابع $ka^{x}$ است.

عموماً متغیر $x$ می‌تواند هر عدد حقیقی یا مختلط باشد. به عبارت دیگر، معکوس $\ln(y)=x$ را $\exp(x)=e^{x}=y$ گویند.

قرینه تابع نمایی

تابع $a^{-x}$ قرینه تابع $a^{x}$ می‌باشد.

$y=a^{-x}=({\frac {1}{a}})^{x}$

نکته: این دو تابع نسبت به محور yها قرینه یکدیگر هستند.

تابع $-a^{x}$ قرینه تابع $a^{x}$ می‌باشد.

نکته: این دو تابع نسبت به محور Xها قرینه یکدیگر هستند.

ویژگی‌ها

• تابع نمایی معکوسِ تابع لگاریتم طبیعی (Y=ln(x است.
• دامنه آن تمام اعداد حقیقی است.
• برد آن تمام اعداد مثبت است.
• مشتق آن همواره با خودش برابر یا بزرگ‌تر و تابعی پیوسته و صعودی از x است.

نمودار تابع نمایی دو حالت کلّی دارد؛ مثلاً:

• وقتی a کوچک‌تر از یک است، با افزایشِ x مقدار y کاهش می‌یابد.
• وقتی a بزرگتر از یک است، با افزایشِ x مقدار y افزایش می‌یابد.

کاربرد

توابع نمایی در زمینه‌هایی چون اقتصاد و زیست شناسی کاربردهای فراوانی دارد. از این‌رو، توابع نمایی و مسائل مربوط به رشد و زوال می‌توانند برای نمایش کاربردهای ریاضی در مسائل زندگی واقعی سودمند باشند.

کسر مسلسل تابع $e^{x}$

برای تابع $e^{x}$ می‌توان کسری را به صورت زیر معرفی کرد:

$e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-\ddots }}}}}}}}$

مثال

یک هنرمند درخت چوبی را با استفاده از تعدادی قطعهٔ چوب شاخه مانند ساخته است. به این‌ترتیب، روی دسته‌های شاخهٔ اصلی شاخه‌هایِ دیگری ساخت و این کار را تا هشت سطح ادامه داد. جدول عملکرد وی به صورت زیر است:

توان ۲ (^)	تعداد شاخه‌ها	سطح
۲^۰	۱	اصلی
۲^۱	1(2)=۲	اول
۲^۲	2(2)=۴	دوم
۲^۳	2(2)(2)=۸	سوم
۲^۴	2(2)(2)(2)=۱۶	چهارم
۲^۵	2(2)(2)(2)(2)=۳۲	پنجم
۲^۶	2(2)(2)(2)(2)(2)=۶۴	ششم
۲^۷	2(2)(2)(2)(2)(2)(2)=۱۲۸	هفتم
۲^۸	2(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)=۲۵۶	هشتم

رابطهٔ بین توان و تعداد شاخه‌ها برابر است با:

۲ به توان ۸ =۲۵۶

نگارخانه

• 
• 
• 

جستارهای وابسته

• رشد نمایی

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Exponential function». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱۴ ژوئن ۲۰۰۸.

پیوند به بیرون

• مثال‌های عملی از تابع نمایی