تابع نمایی

تابع نِمایی یا نموی (به انگلیسی: Exponential function)، تابعی مهم در ریاضیات است و معمولاً به‌صورت ‎$\exp(x)$‎ یا $e^{x}$ نوشته می‌شود که $e$ عدد اویلر (ثابت نپر) با مقدار تقریبیِ ۲/۷۱۸۲۸۱۸۲۸ است.

تابع نمائی $y=e^{x}$

در واقع، تابع لگاریتم، عکس تابع نمایی است.

البته، این تابع را می‌توان به صورت $a^{x}$ نیز تعریف کرد. استفاده از لگاریتم نشان می‌دهد که:

$\,\!\,a^{x}=(e^{\ln a})^{x}=e^{x\ln a}$

این تابع را تابع نمایی با پایهٔ $a$ می‌خوانیم که $a$ عددی ثابت است.

در بسیاری از علوم، وقتی از تابع نمایی صحبت می‌شود، منظور تابع $ka^{x}$ است.

عموماً متغیر $x$ می‌تواند هر عدد حقیقی یا مختلط باشد. به عبارت دیگر، معکوس $\ln(y)=x$ را $\exp(x)=e^{x}=y$ گویند.

قرینۀ تابع نمایی

تابع $a^{-x}$ قرینه تابع $a^{x}$ می‌باشد.

$y=a^{-x}=({\frac {1}{a}})^{x}$

نکته: این دو تابع نسبت به محور $y$ها قرینۀ یکدیگر هستند.

تابع $-a^{x}$ قرینه تابع $a^{x}$ می‌باشد.

نکته: این دو تابع نسبت به محور $x$ها قرینۀ یکدیگر هستند.

ویژگی‌ها

• تابع نمایی، معکوسِ تابع لگاریتم طبیعی $y=\ln(x)$ است.
• دامنۀ آن تمام اعداد حقیقی است.
• برد آن تمام اعداد مثبت است.
• مشتق آن همواره با خودش برابر یا بزرگ‌تر و تابعی پیوسته و صعودی از $x$ است.

نمودار تابع نمایی دو حالت کلّی دارد؛ مثلاً:

• وقتی $a$ کوچک‌تر از 1 است، با افزایش $x$، مقدار $y$ کاهش می‌یابد.
• وقتی $a$ بزرگ‌تر از 1 است، با افزایش $x$، مقدار $y$ افزایش می‌یابد.

کاربرد

توابع نمایی در زمینه‌هایی چون اقتصاد و زیست‌شناسی کاربردهای فراوانی دارد. از این‌رو، توابع نمایی و مسائل مربوط به رشد و زوال می‌توانند برای نمایش کاربردهای ریاضی در مسائل زندگی واقعی سودمند باشند.

کسر مسلسل تابع $e^{x}$

برای تابع $e^{x}$ می‌توان کسری را به صورت زیر معرفی کرد:

$e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-\ddots }}}}}}}}$

مثال

یک هنرمند، درخت چوبی را با استفاده از تعدادی قطعهٔ چوبِ شاخه‌مانند ساخته است. بدین‌ترتیب، روی دسته‌های شاخهٔ اصلی، شاخه‌های دیگری ساخت و این کار را تا هشت سطح ادامه داد. جدول عملکرد وی به‌صورت زیر است:

توانِ ۲	تعداد شاخه‌ها	سطح
$2^{0}$	$1$	اصلی
$2^{1}$	$2$	اوّل
$2^{2}$	$2\times 2=4$	دوم
$2^{3}$	$2\times 2\times 2=8$	سوم
$2^{4}$	$2\times 2\times 2\times 2=16$	چهارم
$2^{5}$	$2\times 2\times 2\times 2\times 2=32$	پنجم
$2^{6}$	${\textstyle 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2=64}$	ششم
$2^{7}$	${\textstyle 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2=128}$	هفتم
$2^{8}$	${\textstyle 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2=256}$	هشتم

رابطهٔ بین توان و تعداد شاخه‌ها برابر است با: $2^{8}=256$

نگارخانه

• 
• 
• 

جستارهای وابسته

• رئوس مطالب توابع نمایی
• رشد نمایی

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Exponential function». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱۴ ژوئن ۲۰۰۸.

پیوند به بیرون

• مثال‌های عملی از تابع نمایی