تابع نمایی

تابع نمائی

تابع نمایی تابعی مهم در ریاضیات است و معمولاً به‌صورت ‎‎ یا نوشته می‌شود که عدد اویلر با مقدارِ تقریبی ۲٫۷۱۸۲۸۱۸۲۸ است.

البته، این تابع را می‌توان به صورت نیز تعریف کرد. استفاده از لگاریتم نشان می‌دهد که:

این تابع را تابع نمایی با پایهٔ می‌خوانیم که عددی ثابت است.

در بسیاری از علوم وقتی از تابع نمایی صحبت می‌شود، منظور تابع است.

عموماً متغیر می‌تواند هر عدد حقیقی یا مختلط باشد. به عبارت دیگر، معکوس را گویند.

قرینه تابع نماییویرایش

تابع   قزینه تابع   می‌باشد.

 

نکته: این دو تابع نسبت به محور yها قرینه یکدیگر هستند.

تابع   قزینه تابع   می‌باشد.

نکته: این دو تابع نسبت به محور Xها قرینه یکدیگر هستند.

ویژگی‌هاویرایش

  • تابع نمایی معکوسِ تابع لگاریتم طبیعی (Y=ln(x است.
  • دامنه آن تمام اعداد حقیقی است.
  • برد آن تمام اعداد مثبت است.
  • مشتق آن همواره با خودش برابر یا بزرگ‌تر و تابعی پیوسته و صعودی از x است.

نمودار تابع نمایی دو حالت کلّی دارد؛ مثلاً:

  • وقتی a کوچک‌تر از یک است، با افزایشِ x مقدار y کاهش می‌یابد.
  • وقتی a بزرگتر از یک است، با افزایشِ x مقدار y افزایش می‌یابد.


کاربردویرایش

توابع نمایی در زمینه‌هایی چون اقتصاد و زیست شناسی کاربردهای فراوانی دارد. از این‌رو، توابع نمایی و مسائل مربوط به رشد و زوال می‌توانند برای نمایش کاربردهای ریاضی در مسائل زندگی واقعی سودمند باشند.

کسر مسلسل تابع ویرایش

برای تابع   می‌توان کسری را به صورت زیر معرفی کرد:

 

مثالویرایش

یک هنرمند درخت چوبی را با استفاده از تعدادی قطعهٔ چوب شاخه مانند ساخته است. به این‌ترتیب، روی دسته‌های شاخهٔ اصلی شاخه‌هایِ دیگری ساخت و این کار را تا هشت سطح ادامه داد. جدول عملکرد وی به صورت زیر است:

توان ۲ (^) تعداد شاخه‌ها سطح
۲^۰ ۱ اصلی
۲^۱ 1(2)=۲ اول
۲^۲ 2(2)=۴ دوم
۲^۳ 2(2)(2)=۸ سوم
۲^۴ 2(2)(2)(2)=۱۶ چهارم
۲^۵ 2(2)(2)(2)(2)=۳۲ پنجم
۲^۶ 2(2)(2)(2)(2)(2)=۶۴ ششم
۲^۷ 2(2)(2)(2)(2)(2)(2)=۱۲۸ هفتم
۲^۸ 2(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)=۲۵۶ هشتم

رابطهٔ بین توان و تعداد شاخه‌ها برابر است با:

۲ به توان ۸ =۲۵۶

نگارخانهویرایش

جستارهای وابستهویرایش

منابعویرایش

پیوند به بیرونویرایش