یک سهمی

در ریاضیات سَهمی (به انگلیسی: Parabola) مکان هندسی نقاطی از صفحه است که از یک خط و از یک نقطه هم فاصله هستند. این منحنی که شَلجَمی هم نامیده می‌شود یکی از مقاطع مخروطی می‌باشد، زیرا از تقاطع یک صفحه و یک مخروط می‌تواند به وجود بیاید.[۱]

از سلسله مقالاتی دربارهٔ
مقاطع مخروطی
Krzywe stożkowe fa.svg
سهمی
معادله
برون‌مرکزی ()
نیم‌راست‌وتر کانونی ()
Parabola (PSF).png Parabola.svg
هذلولی
معادله
برون‌مرکزی ()
نیم‌راست‌وتر کانونی ()
Hyperbola (PSF).svg Hyperbola2.svg
بیضی
معادله
برون‌مرکزی ()
نیم‌راست‌وتر کانونی ()
Ellipse-conic.svg CoA dames 220x300.svg
دایره (حالت خاص بیضی)
معادله
برون‌مرکزی ()
نیم‌راست‌وتر کانونی ()
Konusni presek - Krug.png Disk 1.svg
• • •
یک سهمی از تقاطع یک صفحه و یک مخروط به دست می‌آید.

رسم سهمیویرایش

معادله درجه دو   را در نظر می‌گیریم. برای رسم سهمی کافیست که راسش را پیدا کنیم.

فرمول راس سهمی برابر است با:

 

حال ما راس را داریم و دو نقطه دیگری را با جایگذاری در فرمول پیدا کرده و نمودار را رسم می‌کنیم.

نکته: اگر در معادله درجه دو a مثبت باشد دهانه سهمی رو به بالا و اگر منفی باشد دهانه سهمی رو به پایین است.

 
تعیین علامت a


روش انتقالویرایش

 

  • a بیانگر باز و بسته شدن دهانه تابع است.
  • h بیانگر جابجا شدن نمودار در جهت افقی. (برخلاف علامت h حرکت می‌کند.)
  • k بیانگر جابجا شدن نمودار در جهت عمودی. (برجهت علامت k حرکت می‌کند.)

در معادله بالا h باعث انتقال افقی و k باعث انتقال عمودی می‌شود. کافیست نمودار   رسم کرده و با توجه به علامت h و k آن را منتقل می‌کنیم.

 
انتقال سهمی


معادلهویرایش

معادله ساده سهمی:  می‌باشد. شکل کلی معادله سهمی در دستگاه مختصات دکارتی، به شکل زیر است:

 

که ضرایب   تا   همگی ثابت و حقیقی بوده،   یا   غیر صفر هستند، و همچنین  .

در نوشتارهای علمیویرایش

  • منایخموس، ریاضیدان یونانی باستان سهمی را جهت حل مسئله تضعیف مکعب (ساختن مکعبی که حجم آن دو برابر حجم یک مکعب مفروض است فقط با استفاده از خط‌کش و پرگار)، مورد مطالعه قرار داد.[۲]
  • اسحاق نیوتن در کتاب «اصول ریاضی فلسفه طبیعی»[۳] نشان داد که اگر نیروی کشش میان اجسام آسمانی متناسب با معکوس مجذور فاصله بین آن دو باشد، اجرامی که به دور یک جرم بزرگ می‌گرداند، یا باید حرکت دایره‌ای، بیضوی، سهموی یا هذلولوی داشته باشند. نیوتن از سهمی برای محاسبه مدار شهاب سنگ‌ها استفاده کرد.[۴] امروزه می‌دانیم که اگر چه سهمی مدل خوبی برای حرکت شهاب سنگ‌ها می‌باشد ولی این مدل از دقت بالایی برخوردار نیست و به ندرت مدار شهاب سنگ‌ها با دقت بسیار بالایی سهموی می‌باشند.[۵]
  • گالیله نشان داد که وقتی جسمی را در هوا پرتاب می‌کنیم، مسیر حرکت آن سهموی می‌باشد.[۲] این موضوع زمانی صحت دارد که از مقاومت هوا و آثار چرخشی چشم پوشی شود.[۱]
  • نیوتون و گرگوری نشان دادند که هنگامی که نور به صورت موازی به یک آینه سهموی تابانده شود، پس از انعکاس در کانون آن جمع می‌شود.[۲]
  • پاسکال سهمی را تصویر یک دایره در نظر گرفت.[۲]
  • اقتصادی‌ترین شکل پل کمانی در اغلب شرایط عملی سهمی می‌باشد.[۶]

خاصیت بازتاب نورویرایش

 
نور هایی که موازی با خط قرینه سهمی وارد سهمی می شوند، به کانون بازتاب می کنند.

خاصیت بازتاب سهمی بیان می‌دارد که اگر یک سهمی آیینه ای باشد و بتواند نور را بازتاب کند، آنگاه نورهایی که موازی با خط تقارن سهمی به آن وارد می‌شوند، به سمت کانون آن بازتاب می‌کنند.

اثباتویرایش

در شکل مقابل F نقطه کانون سهمی، P نقطه ای دلخواه روی سهمی، PT عمودی بر خط هادی سهمی و MP نیم ساز زاویه FPT∠ است. Q نقطه ای دیگر روی سهمی است و QU نیز عمود بر خط هادی است. ما می‌دانیم FP = PT و FQ = QU. به وضوح , QT > QU, پس QT > FQ. اما از طرفی تمام نقاط روی MP از F و T به یک فاصله هستند. یعنی هیچ نقطه ای روی سهمی نیست که روی MP باشد. که یعنی خط مماس به سهمی که از نقطه T می‌گذرد، نیمساز FP و PT است. با توجه به این که زاویه تابش نور از خط مماس به منهنی با زاویه بازتاب برابر است، می‌توان دریافت که پرتو بازتاب در راستای همان خطی است که به F می‌رود.

ویژگی‌هاویرایش

  • معادلهٔ سهمی در یک سیستم مختصات تخصیص‌یافته عبارت است از  . رأس این سهمی در   قرار دارد و محور  ها محور تقارن آن است.[۷]
  • نقطه تمرکز   سهمی بر روی محور تقارن قرار دارد و گسترنده ‏(en)ٔ سهمی (منحنی مکان هندسی مرکز انحناهای آن) تنها یک نوک تیز دارد.[۸]
  • خط تمرکز معادل   است که عمود بر محور  ها است و فاصله‌اش از نقطهٔ تمرکز ( ) برابر   است.[۹]
  • برای هر نقطهٔ   روی سهمی، فاصلهٔ   از نقطهٔ تمرکز   فاصلهٔ آن از خط تمرکز   است.[۱۰]
  • همهٔ سهمی‌ها با هم متشابه‌اند.[۱۱]
  • سهمی‌هایی با   برابر با یکدیگر همنهشتند.[۱۲]
  • فرمول پارامتریک سهمی: نمونهٔ آن می‌تواند   باشد.[۱۳]

پانوشتویرایش

آموزش رسم سهمی «سیده فاطمه موسوی نطنزی»

منابعویرایش

پانویسویرایش

  1. ۱٫۰ ۱٫۱ Encyclopædia Britannica, parabola (mathematics)
  2. ۲٫۰ ۲٫۱ ۲٫۲ ۲٫۳ Weisstein, Eric W. «Parabola." From MathWorld--A Wolfram Web Resource
  3. Principia
  4. Encyclopædia Britannica, comet (astronomy): The impact of Newton’s work
  5. Roger R. Bate, Donald D. Mueller, Jerry E. White, Fundamentals of astrodynamics, Dover Publications, 1971, p. 24
  6. John Thomas Rule, Steven A. Coons, "Graphics", McGraw-Hill (New York), 1961, p. 137
  7. Pottmann et al. 2007‏:‎235
  8. Pottmann et al. 2007‏:‎235
  9. Pottmann et al. 2007‏:‎235
  10. Pottmann et al. 2007‏:‎235
  11. Pottmann et al. 2007‏:‎235
  12. Pottmann et al. 2007‏:‎235
  13. Pottmann et al. 2007‏:‎235

فهرست منابعویرایش

  • Pottmann, Helmut; Asperl, Andreas; Hofer, Michael; Kilian, Axel; Bentley, Daril (2007). Architectural geometry. Bentley Institute Press. ISBN 1-934493-04-X. OCLC 180177477.