نابرابری کوشی–شوارتز

یکی از نامساوی‌های مهم و پرکاربرد در ریاضیات، نامساوی کوشی-شوارتس است که به نام‌های «نامساوی کوشی»، «نامساوی شوارتس»، «نامساوی کوشی-بونیاکوفسکی-شوارتس» و «نامساوی لاگرانژ»[۱] نیز مشهور است. علت این نامگذاری‌ها، شیوه‌های گوناگون گسترش یافتن این نامساوی به فضاهای مختلف است که در زمینه‌های مختلفی مانند جبر خطی، آنالیز ریاضی و نظریه احتمالات مطرح می‌شود. نابرابری کوشی-شوارتز به عنوان یکی از مهم‌ترین نابرابری‌های ریاضیات شناخته می‌شود[۲] و به نام آگوستین لویی کوشی و هرمن امندوس شوارتز خوانده می‌شود.

بیان نابرابریویرایش

نابرابری کوشی-شوارتز بیان می‌کند که برای هر دو بردار دلخواه x و y در فضای ضرب داخلی داریم:

 

که در آن   ضرب داخلی است. هم‌چنین با گرفتن ریشه دوم طرفین و با توجه به متریک القاء شده توسط این عملگر ضرب داخلی، نامساوی به شکل زیر نوشته می‌شود:

 

حالت تساوی رخ می‌دهد اگر و فقط اگر x و y وابستهٔ خطی باشند.

حالات خاصویرایش

لم تیتوویرایش

برای لم تیتو[۳] ( همچنین بنام نامساوی برگستورم، فرم انگل یا لم T2 نیز شناخته می‌شود) داریم، برای اعداد حقیقی و مثبت داریم:

 

برای اثبات کافیست تا ضرب داخلی روی فضای برداری   را در نظر بگیرید و با جایگذاری   و   حکم نتیجه می‌شود.

 
نامساوی کوشی-شوارتز در دایره واحد صفحه اقلیدسی.

صفحه اقلیدسی (R2)ویرایش

فضای برداری حقیقی  ، نشان دهنده صفحه دو بعدی است که در آن ضرب داخلی همان حاصل ضرب نقطه‌ای است. اگر   و   آنگاه نابرابری کوشی-شوارتز می شود:

 

که در آن θ، زاویه بین u و v است.

حالت بالا شاید ساده‌ترین شکل برای درک نابرابری باشد، زیرا مجذور کسینوس حداکثر می‌تواند ۱ باشد، که زمانی اتفاق می‌افتد که بردارها در یک جهت یا مخالف هم باشند. همچنین می توان آن را بر حسب مختصات برداری   تنظیم کرد:

 

که در آن تساوی برقرار است اگر و فقط اگر بردار   در جهت یکسان یا مخالف   باشد یا اگر یکی از آنها بردار صفر است.

فضای n-بعدی مختلط (Cn)ویرایش

اگر   و   اعداد مختلط دلخواه باشند، و نماد بار نشان‌دهندهٔ مزدوج مختلط باشد، نابرابری را می‌توان به شکل زیر بازنویسی کرد:

 

مراجعویرایش

  1. Mitrinović, D. S.; Pečarić, J. E.; Fink, A. M. (1993). "Classical and New Inequalities in Analysis". doi:10.1007/978-94-017-1043-5. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)
  2. The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, Ch. 1 by J. Michael Steele.
  3. "Sedrakyan's inequality". Wikipedia (به انگلیسی). 2022-01-15.

منابعویرایش

  • محمد صال‌مصلحیان و فاطمه عبدالله‌زاده گنابادی، "بازنگاهی به نامساوی کوشی-شوارتس"، فرهنگ و اندیشۀ ریاضی سال ٣۶، شمارۀ ۶١ (پاییز و زمستان ١٣٩۶) صص. ٩٩ تا ١١۵