نظریه آشوب

نظریّهٔ آشوب یا نظریّهٔ بی‌نظمی‌ها شاخه‌ای از ریاضیات است که به مطالعهٔ سیستم‌های دینامیکی آشفته می‌پردازد. سیستم‌هایِ آشفته سیستم‌های دینامیکی غیرخطی هستند که نسبت به شرایط اولیهٔ خود (t = ۰) بسیار حساس بوده‌اند. تغییری اندک در شرایط اولیهٔ چنین سیستم‌هایی باعث دگرگونی‌های بسیار در مرحلهٔ بعدی خواهد شد. این پدیده در نظریهٔ آشوب به اثر پروانه‌ای مشهور است که در آن بال‌زدنِ یک پروانه در برزیل می‌تواند (در شرایطی) باعث گردباد در تگزاس شود^[۱] و بنابرین ارائهٔ پیش‌بینی طولانی مدّت رفتار آن‌ها غیرممکن است.

نمودار فضای فاز آونگ دوتایی با اصطکاک که لورنتس آن را نگاشته‌است.

انیمیشن یک آونگ دو میله‌ای در یک انرژی میانی که رفتار آشوبناکی را نشان می‌دهد. شروع آونگ از شرط اولیه اندکی متفاوت منجر به یک مسیر بسیار متفاوت خواهد شد. آونگ دو میله‌ای یکی از ساده‌ترین سیستم‌های پویا با جواب‌های آشوبناک است.

رفتار سیستم‌های آشوبناک به ظاهر تصادفی می‌نماید. با این‌حال، هیچ لزومی به وجود عنصر تصادف در ایجاد رفتار آشوبناک نیست و سیستم‌های دینامیکی قطعی (deterministic) نیز می‌توانند رفتاری آشوبناک از خود نشان دهند.^[۲]^[۳]

می‌توان نشان داد که شرط لازم رفتار آشوب‌گونه در سیستم‌های دینامیکیِ زمان‌پیوسته مستقل از زمان (time invariant) داشتن حداقل سه متغیر حالت است (سیستم مرتبه سه). دینامیک لورنتس نمونه‌ای از چنین سیستمی است. برای سیستم‌های زمان‌گسسته وجودِ یک متغیر حالت کفایت می‌کند. نمونهٔ مشهور چنین سیستم‌ای مدل جمعیتیِ بیان‌شده توسط نقشهٔ لجستیک است.

تاریخچهویرایش

این نظریه گسترش خود را بیشتر مدیون کارهای هانری پوانکاره، ادوارد لورنتس، بنوا مندلبروت و مایکل فیگن‌باوم است. پوانکاره اولین کسی بود که اثبات کرد مسئله سه جرم (به عنوان مثال، خورشید، زمین، ماه) مسئلهٔ آشوبی و غیرقابل حل است. شاخهٔ دیگر از نظریهٔ آشوب که در مکانیک کوانتومی به کار می‌رود، آشوب کوانتومی نام دارد. گفته می‌شود که پیر لاپلاس و عمر خیام قبل از پوانکاره، به این مسئله و پدیده پی برده بودند.

اولین آزمایش واقعی در زمینهٔ آشوب را یک هواشناس به نام ادوارد لورنتس انجام داد. در سال ۱۹۶۰، وی روی یک مسئلهٔ پیش‌بینی وضع هوا کار می‌کرد؛ و روی کامپیوترش ۱۲ معادله برای پیش‌بینی وضع هوا در نظر گرفته بود. این معادله‌ها وضعِ هوا را پیش‌بینی نمی‌کرد، ولی این برنامهٔ کامپیوتری به‌طور نظری پیش‌بینی می‌کرد که هوا چگونه می‌تواند باشد. او می‌خواست دنبالهٔ مشخصی را دوباره ببیند. برای کاهش زمان، وی به جای شروع از اول، از وسط دنباله شروع کرد. او عددی را وارد کرد که دفعهٔ قبل از دنباله در دست داشت و کامپیوتر را برای پردازش رها نمود و رفت. وقتی یک ساعت بعد برگشت، دنباله به صورتی متفاوت از دفعهٔ قبل پیشرفت کرده بود. به جای حالت قبلی، الگوی جدید آن واگرا می‌شد و در آخر شکلی کاملاً به هم ریخته نسبت به اولی پیدا می‌کرد. بالاخره فهمید که مشکل کار کجاست. کامپیوتر تا ۶ رقم اعشار را در خود ذخیره می‌کرد و برای این‌که کاغذ کمتری مصرف کند، فقط تا ۳ رقم اعشار را برای خروجی در نظر گرفته بود. در الگوی اولیه، عدد به‌دست آمده در اصل۵۰۶۱۲۷/۰ بود، ولی برای حالت بعدی فقط ۵۰۶/۰ را وارد کرد. براساس تمام ایده‌های آن زمان، این دنباله باید شبیه یا خیلی نزدیک به حالت اولیه می‌شد. رقم‌های پنجم و ششم، که برای بعضی از روش‌ها غیرقابل اندازه‌گیری هستند، نمی‌توانند تأثیر زیادی روی خروجی داشته باشند. لورنز این باور را رد کرد. این اثر به عنوان اثر پروانه‌ای شناخته شد. مقدار تفاوت بین نقاط شروع دو نمودار آن‌قدر کم است، که به اندازهٔ بال زدن یک پروانه می‌تواند باشد؛ بال زدن یک پروانه تغییر بسیار اندکی در وضعیت اتمسفر ایجاد می‌کند. در طول یک دوره، اتمسفر از حالتی که باید می‌بود، عملاً دور می‌شود. به همین دلیل، در طول یک دوره، یک گردباد که قرار بود سواحل اندونزی را تخریب کند، هیچ وقت اتفاق نمی‌افتد یا ممکن است گردبادی رخ دهد که اصلاً قرار نبود اتفاق بیفتد. این پدیده به عنوانِ حساسیت بالا به شرایط اولیه نیز شناخته شده‌است. ^*[۱]

تعریفویرایش

نظریهٔ آشوب شاخه‌ای از علم ریاضی است که به بررسی سیستم‌های پیچیده‌ای می‌پردازد که در خروجی آن‌ها با اعمال تغییرات کوچک (و ظاهراً قابل اغماض) تغییراتِ بزرگی حاصل می‌شود. به بیان دیگر، پدیده‌هایی اتفاقی (Random) که تاکنون دلیلی برای آن‌ها نمی‌یافتیم، به کمک نظریه آشوب، توجیه می‌شود. نظریهٔ آشوب بر پایه‌های ریاضی، فیزیک و حتی فلسفه استوار است و هر یک از این علوم با ابزارهایِ خود این نظریه را بررسی و اثبات کرده‌اند. نظریهٔ آشوب پدیده جدیدی نیست، قانون علت و معلول در آن پا برجاست و فقط با ابزارهایی متفاوت، علت‌های بسیار بیشتری را برای یک معلول بررسی می‌کند.

اگر فقط ذرّه‌ای در هر سوی این بازه جابه‌جا شود، همه چیز به بی‌نهایت می‌رود! یک بار به هم خوردن بال‌های یک پروانه کافی‌ست تا شما با یک رفتار آشوب‌گونه روبرو شوید. این رفتار به آرامی به آشوب‌ناکی میل نمی‌کند، بلکه سیستم از نقطه‌ای ناگهان به سمت بی‌نهایت می‌رود. پدیده‌هایی مثل دانهٔ برف ویژگی جالبی به نام خود متشابهی دارند؛ یعنی شکل کلی‌شان از قسمت‌هایی تشکیل شده‌است که هرکدام به شدت شبیه به این شکل کلی هستند. ایدهٔ اصلیِ آشوب تعریفِ رفتار سیستم‌های مشخصی است که شدیداً به شرایط اولیه‌شان حساس‌اند. در دههٔ ۶۰ میلادی، ادوارد لورنتز اعلام کرد که معادلات دیفرانسیل می‌توانند خاصیت فوق را داشته باشند. این ویژگی اثر پروانه‌ای نام گرفت.

مقدمهویرایش

یک سیستم جوی ساده را در نظر بگیرید. تابع $f(x)=x+2$ برای تخمین دمای فردا از روی دمای امروز در دست است. اوربیت یک نقطهٔ تحت یک تابع از مجموعه اتفاقاتی است که در اثرِ تکرار تابع (دینامیک) برای آن نقطه می‌افتد. مثلاً، اُربیت نقطهٔ ۱ تحت این تابع این است که ۱ ابتدا ۳ و سپس ۵ و بعد ۷ و … می‌شود. مهم‌ترین گونه اربیت‌ها نقطه ثابت است که هرگز تحت اجرای تابع تغییر نمی‌کند، ولی تابع ما چنین نقطه‌ای ندارد. حال $f(x)=x^{2}+3$ را در نظر بگیرید. این تابع ما را به دنیای آشوب می‌برَد. به نظر می‌رسد اربیت‌های تمام نقاط به بی‌نهایت میل می‌کنند. باید اشاره شود که نقاط پایانی هر بازه‌ای روی این تابع ثابت‌اند. با اجرای تابع و ادامه دادن آن می‌بینیم که تمام نقاط داخل بازه به بی‌نهایت میل می‌کنند، ولی حدود بازه همچنان متناهی‌اند. این رفتار آشوب گونه است. مثلث سرپینسکی و پوست مار کخ دو فرکتال یا برخال معروف‌اند. در مورد پوست مار کخ جالب این است که ناحیهٔ متناهی دارد، ولی پارامترش نامتناهی است. می‌توان سطح خود تشابهی در فرکتال‌ها را با مفهوم جدیدی از بُعد اندازه‌گیری کرد که مبتنی بر تعداد کپی‌های مجموعه‌های خودمتشابه در فرکتال و میزان بزرگ‌نمایی هر مجموعه است. یعنی بُعد فرکتالیِ یک مجموعه از تقسیم لگاریتم تعداد کپی‌ها به لگاریتم بزرگنمایی به دست می‌آید. این مقدار برای مثلث سرپینسکی ۱٫۵۸۴ و برای پوست مار کخ ۱٫۲۶۱ است.

جستارهای وابستهویرایش

منابعویرایش

↑ Boeing (2015). "Chaos Theory and the Logistic Map". Retrieved 2015-07-16.
↑ Kellert, Stephen H. (1993). In the Wake of Chaos: Unpredictable Order in Dynamical Systems. University of Chicago Press. p. 32. ISBN 0-226-42976-8.
↑ Boeing, G. (2016). "Visual Analysis of Nonlinear Dynamical Systems: Chaos, Fractals, Self-Similarity and the Limits of Prediction". Systems. 4 (4): 37. doi:10.3390/systems4040037. Retrieved 2016-12-02.

در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ نظریه آشوب موجود است.

www.wikirahnama.com

Ott, Edward (2002). Chaos in Dynamical Systems. Cambridge University Press New, York. ISBN 0-521-01084-5.
Moon, Francis (1990). Chaotic and Fractal Dynamics. Springer-Verlag New York, LLC. ISBN 0-471-54571-6.
Tufillaro, Abbott, Reilly (1992). An experimental approach to nonlinear dynamics and chaos. Addison-Wesley New York. ISBN 0-201-55441-0
Devaney, Robert. A First Course in Chaotic Dynamical Systems(1992).
Devaney, R. Chaos and Fractals: The Mathematics Behind Computer Graphics. Proceedings of symposia in Applied Mathematics, American Mathematical Society. [1998].

^ Christian Gerthsen, Gerthsen Physik. ISBN 3-540-62988-2

[bo1-1] Boeing (2015). "Chaos Theory and the Logistic Map". Retrieved 2015-07-16.

[2] Kellert, Stephen H. (1993). In the Wake of Chaos: Unpredictable Order in Dynamical Systems. University of Chicago Press. p. 32. ISBN 0-226-42976-8.

[Boeing2016Systems-3] Boeing, G. (2016). "Visual Analysis of Nonlinear Dynamical Systems: Chaos, Fractals, Self-Similarity and the Limits of Prediction". Systems. 4 (4): 37. doi:10.3390/systems4040037. Retrieved 2016-12-02.

[۱]

[۲]

[۳]