در ریاضیات ،تفاضل متقارن دو مجموعه ، مجموعه‌ای از اعضای آنهاست به گونه‌ای که آن اعضا در یکی از دو مجموعه هست و در اشتراک آن دو وجود ندارد.
نمودار ون
A
△
B
{\displaystyle ~A\triangle B}
اجتماع بدون اشتراک :
∖
{\displaystyle ~\setminus ~}
=
{\displaystyle ~=~}
تفاضل متقارن دو مجموعهٔ A و B، معمولاً به صورت‌های زیر نمایش داده می‌شود:
A
△
B
{\displaystyle A\,\triangle \,B\,}
یا
A
⊖
B
.
{\displaystyle A\ominus B.}
یا
A
⊕
B
.
{\displaystyle A\oplus B.}
برای مثال، تفاضل متقارن دو مجموعهٔ
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle \{1,2,3\}}
{
3
,
4
}
{\displaystyle \{3,4\}}
{
1
,
2
,
4
}
{\displaystyle \{1,2,4\}}
تفاضل متقارن مجموعهٔ تمام دانش آموزان و مجموعهٔ خانم‌ها، تمام دانش آموزان مرد و تمام خانم‌هایی که دانش آموز نیستند را شامل می‌شود.
مجموعه توانی هر مجموعه با عملگر تفاضل متقارن، یک گروه آبلی را تشکیل می‌دهد؛ که مجموعه تهی عضو خنثی گروه و هر عضوی از این گروه، معکوس خودش است.
مجموعه توانی هر مجموعه‌ای، با تفاضل متقارن یک حلقه بولی می‌شود، به علاوه، در این حلقه، اشتراک، به عنوان ضرب حلقه به حساب می‌آید.
تفاضل متقارن برابر است با اجتماع دو مکمل نسبی (به انگلیسی : relative complement
A
△
B
=
(
A
∖
B
)
∪
(
B
∖
A
)
,
{\displaystyle A\,\triangle \,B=(A\smallsetminus B)\cup (B\smallsetminus A),\,}
و همچنین آن را می‌توان به شکل اجتماع دو مجموعه، منهای ، اشتراک آن دو نشان داد:
A
△
B
=
(
A
∪
B
)
∖
(
A
∩
B
)
,
{\displaystyle A\,\triangle \,B=(A\cup B)\smallsetminus (A\cap B),}
یا با عملوند XOR :
A
△
B
=
{
x
:
(
x
∈
A
)
⊕
(
x
∈
B
)
}
.
{\displaystyle A\,\triangle \,B=\{x:(x\in A)\oplus (x\in B)\}.}
به طور خاص،
A
△
B
⊆
A
∪
B
{\displaystyle A\triangle B\subseteq A\cup B}
تفاضل متقارن دارای خاصیت شرکت پذیری و جا به جایی است:
A
△
B
=
B
△
A
,
{\displaystyle A\,\triangle \,B=B\,\triangle \,A,\,}
(
A
△
B
)
△
C
=
A
△
(
B
△
C
)
.
{\displaystyle (A\,\triangle \,B)\,\triangle \,C=A\,\triangle \,(B\,\triangle \,C).\,}
نمودار ون
A
△
B
△
C
{\displaystyle ~A\triangle B\triangle C}
△
{\displaystyle ~\triangle ~}
=
{\displaystyle ~=~}
بنابراین، تکرار تفاضل متقارن روی چند مجموعه، یک مجموعه از اعضایی است که، در تعداد فردی از مجموعه‌ها آمده‌اند.
تفاضل متقارن از دو تفاضل متقارن تکراری، یک تفاضل متقارن تکراری از به هم پیوستن دو چندمجموعه‌ای است، که برای هر مجموعه دوتایی، هردو می‌توانند جابه جا شوند.
(
A
△
B
)
△
(
B
△
C
)
=
A
△
C
.
{\displaystyle (A\,\triangle \,B)\,\triangle \,(B\,\triangle \,C)=A\,\triangle \,C.\,}
این اشاره دارد به نوعی نامساوی مثلثی :اجتماع تفاضل متقارن A و B، و تفاضل متقارن B و C، شامل تفاضل متقارن A و C می‌شود. (البته در نظر داشته باشید که برای قطر(به انگلیسی : diameter نامساوی مثلث لزوماً برقرار نیست)
مجموعه تهی عضو خنثی است، و هر مجموعه‌ای وارون خودش است:
A
△
∅
=
A
,
{\displaystyle A\,\triangle \,\varnothing =A,\,}
A
△
A
=
∅
.
{\displaystyle A\,\triangle \,A=\varnothing .\,}
روی هم رفته، مشاهده می‌شود که مجموعه توانی هر مجموعه X یک گروه آبلی می‌شود اگر از تفاضل متقارن به عنوان عملگر استفاده شود.
چون هر عضوی در این گروه وارون خودش است، در حقیقت این یک فضای برداری (خطی) روی میدان با دو عضو Z 2 است. اگر X متناهی باشد، پس یک مجموعه یکتا تک عضوی پایهٔ این فضای برداری را تشکیل می‌دهد، و در نتیجهبُعد آن برابر است با تعداد اعضای X . این ساختار در تئوری گراف برای تعریف فضای چرخشی (به انگلیسی : cycle space
خاصیت پخشی اشتراک در تفاصل متقارن:
A
∩
(
B
△
C
)
=
(
A
∩
B
)
△
(
A
∩
C
)
,
{\displaystyle A\cap (B\,\triangle \,C)=(A\cap B)\,\triangle \,(A\cap C),}
و این نشان می‌دهد که، مجموعه توانی هر مجموعه‌ای، با تفاضل متقارن یک حلقه بولی می‌شود، به علاوه، در این حلقه ، اشتراک، به عنوان ضرب حلقه به حساب می‌آید. این یک نمونه بارز از حلقه بولی است.
سایر ویژگی‌های تفاضل متقارن:
A
△
B
=
A
c
△
B
c
{\displaystyle A\triangle B=A^{c}\triangle B^{c}}
A
c
{\displaystyle A^{c}}
B
c
{\displaystyle B^{c}}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
(
⋃
α
∈
I
A
α
)
△
(
⋃
α
∈
I
B
α
)
⊆
⋃
α
∈
I
(
A
α
△
B
α
)
{\displaystyle \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {I}}}A_{\alpha }\right)\triangle \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {I}}}B_{\alpha }\right)\subseteq \bigcup _{\alpha \in {\mathcal {I}}}\left(A_{\alpha }\triangle B_{\alpha }\right)}
I
{\displaystyle {\mathcal {I}}}
اگر
f
:
S
→
T
{\displaystyle f:S\rightarrow T}
تابعی باشد و
A
,
B
⊆
T
{\displaystyle A,B\subseteq T}
مجموعه‌هایی از هم دامنه ی f باشند، آنگاه داریم:
f
−
1
(
A
Δ
B
)
=
f
−
1
(
A
)
Δ
f
−
1
(
B
)
{\displaystyle f^{-1}\left(A\Delta B\right)=f^{-1}\left(A\right)\Delta f^{-1}\left(B\right)}
تفاضل متقارن را در جبر بولی ، می توان این گونه تعریف کرد:
x
△
y
=
(
x
∨
y
)
∧
¬
(
x
∧
y
)
=
(
x
∧
¬
y
)
∨
(
y
∧
¬
x
)
=
x
⊕
y
.
{\displaystyle x\,\triangle \,y=(x\lor y)\land \lnot (x\land y)=(x\land \lnot y)\lor (y\land \lnot x)=x\oplus y.}
ویژگی‌های این عمل، مانند تفاضل متقارن مجموعه‌ها است.
تفاضل متقارن nتایی
ویرایش
طبق موارد گفته شده، تفاضل متقارن چندمجموعه شامل اعضایی است که در تعداد فردی از مجموعه‌ها آمده باشند.
△
M
=
{
a
∈
⋃
M
:
|
{
A
∈
M
:
a
∈
A
}
|
is odd
}
{\displaystyle \triangle M=\left\{a\in \bigcup M:|\{A\in M:a\in A\}|{\mbox{ is odd}}\right\}}
بدیهی است که، این تنها زمانی تعریف خوبی است که هر عضوی از اجتماع
⋃
M
{\displaystyle \bigcup M}
فرض کنید
M
=
{
M
1
,
M
2
,
…
,
M
n
}
{\displaystyle M=\{M_{1},M_{2},\ldots ,M_{n}\}}
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
|
△
M
|
{\displaystyle |\triangle M|}
△
M
{\displaystyle \triangle M}
|
△
M
|
=
∑
l
=
1
n
(
−
2
)
l
−
1
∑
i
1
≠
i
2
≠
…
≠
i
l
|
M
i
1
∩
M
i
2
∩
…
∩
M
i
l
|
{\displaystyle |\triangle M|=\sum _{l=1}^{n}(-2)^{l-1}\sum _{i_{1}\neq i_{2}\neq \ldots \neq i_{l}}|M_{i_{1}}\cap M_{i_{2}}\cap \ldots \cap M_{i_{l}}|}
که در نظرگرفتنِ
i
1
≠
i
2
≠
…
≠
i
l
{\displaystyle i_{1}\neq i_{2}\neq \ldots \neq i_{l}}
{
i
1
,
i
2
,
…
,
i
l
}
{\displaystyle \{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{l}\}}
{
1
,
2
,
…
,
n
}
{\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}
(
n
1
)
{\displaystyle {\binom {n}{1}}}
تفاضل متقارن در فضای اندازه
ویرایش
مادامی که مفهوم «اندازه» مجموعه وجود دارد، تفاضل متقارن بین دو مجموعه می‌تواند به عنوان مقیاس «مسافت» بین آن دو در نظر گرفته شود. رسمی‌تر اینکه، اگر اندازه μ یک سیگما متناهی در جبر سیگماتعریف شود، تابع
d
(
X
,
Y
)
=
μ
(
X
△
Y
)
{\displaystyle d(X,Y)=\mu (X\,\triangle \,Y)}
در Σ شبه متریک است.d متریک می‌شود اگر Σ پیمانه رابطه هم‌ارزی در نظر گرفته شود،X ~ Y اگر و فقط اگر
μ
(
X
△
Y
)
=
0
{\displaystyle \mu (X\,\triangle \,Y)=0}
فضای متریک تفکیک‌پذیر است اگر و فقط اگر (L2 (μ تفکیک‌پذیر باشد.
در نظر بگیرید
S
=
(
Ω
,
A
,
μ
)
{\displaystyle S=\left(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu \right)}
فضای اندازه باشد و
F
,
G
∈
A
{\displaystyle F,G\in {\mathcal {A}}}
D
,
E
⊆
A
{\displaystyle {\mathcal {D}},{\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {A}}}
تفاضل متقارن اندازه پذیر است:
F
△
G
∈
A
{\displaystyle F\triangle G\in {\mathcal {A}}}
می‌نویسیم:
F
=
G
[
A
,
μ
]
{\displaystyle F=G\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}
μ
(
F
△
G
)
=
0
{\displaystyle \mu \left(F\triangle G\right)=0}
=
[
A
,
μ
]
{\displaystyle =\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
می‌نویسیم
D
⊆
E
[
A
,
μ
]
{\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq {\mathcal {E}}\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}
D
∈
D
{\displaystyle D\in {\mathcal {D}}}
E
∈
E
{\displaystyle E\in {\mathcal {E}}}
D
=
E
[
A
,
μ
]
{\displaystyle D=E\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}
⊆
[
A
,
μ
]
{\displaystyle \subseteq \left[{\mathcal {A}},\mu \right]}
می‌نویسیم:
D
=
E
[
A
,
μ
]
{\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {E}}\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}
D
⊆
E
[
A
,
μ
]
{\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq {\mathcal {E}}\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}
E
⊆
D
[
A
,
μ
]
{\displaystyle {\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {D}}\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}
=
[
A
,
μ
]
{\displaystyle =\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
«بستار متقارن» (به انگلیسی : symmetric closure
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
=
[
A
,
μ
]
{\displaystyle =\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}
D
∈
D
{\displaystyle D\in {\mathcal {D}}}
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
![{\displaystyle F=G\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b34b7ef5e1d9a7c4353e088637d38d044a21c7d9)
![{\displaystyle =\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfa59a0c3260fe7f7738f5f667cd58c0eb481978)
![{\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq {\mathcal {E}}\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/549b2ac572b6521301bb6259c2432a5c373dd505)
![{\displaystyle D=E\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dff442e52356e3471c6fec1e1f021b53e2aeadaa)
![{\displaystyle \subseteq \left[{\mathcal {A}},\mu \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e1e635a73aa549dd3fc425a6d25c0f35656b159)
![{\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {E}}\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/485f68a1656359cb717c4e0095fe3587735cc3e7)
![{\displaystyle {\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {D}}\left[{\mathcal {A}},\mu \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5bf5c58b6903d080a98537355aeed7fe1f1f6e8)
![{\displaystyle \left[{\mathcal {A}},\mu \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6807631b12582d8815fccac64d0c15eba9e2858c)