پیش‌نویس:فرمت اعداد کامپیوتری

فرمت اعداد رایانه ای نحوه قرار گرفتن و مدل شدن اعداد در سخت افزار و نرم افزار یک دستگاه دیجیتال است (مانند رایانه های قابل برنامه ریزی و ماشین حساب ها) . مقادیر عددی به صورت گروه های بیت ها مانند بایت ها (۸ بیت) و کلمات ذخیره می شوند. رمزگذاری بین مقادیر عددی و الگوهای بیت برای راحتی کار رایانه انتخاب شده است. رمزگذاری مورد استفاده توسط مجموعه دستورالعمل کامپیوتر معمولاً برای استفاده خارجی مانند چاپ و نمایش نیاز به تبدیل دارد. انواع مختلف پردازنده ها ممکن است نمایش های داخلی متفاوتی از مقادیر عددی داشته باشند و قراردادهای متفاوتی برای اعداد صحیح و طبیعی استفاده می شود. اکثر محاسبات با فرمت‌های اعدادی انجام می‌شوند که در یک رجیستر پردازنده قرار می‌گیرند، اما بعضی از سیستم‌های نرم‌افزاری امکان نمایش اعداد بزرگ دلخواه را با استفاده از چندین کلمه حافظه را ممکن میسازند.

نمایش اعداد باینری

رایانه ها داده ها را در مجموعه ای از ارقام باینری نشان می دهند. این نمایش شامل مجموعه ای از بیت ها است که به نوبه خود در مجموعه های بزرگتر مانند بایت ها (8 بیت) گروه بندی می شوند.

جدول 1: باینری به اکتال

رشته باینری	مقدار اکتال
000	0
001	1
010	2
011	3
100	4
101	5
110	6
111	7

جدول 2: تعداد مقادیر برای یک رشته بیت.

طول رشته به طول b بیت	تعداد مقادیر ممکن (N)
1	2
2	4
3	8
4	16
5	32
6	64
7	128
8	256
9	512
10	1024
. . .
$b$	$2^{b}=N$

بیت یک رقم باینری است که یکی از دو حالت را نشان می دهد . مفهوم بیت را می توان به عنوان یک ارزش و یا 1 یا 0 در نظر گرفت، روشن یا خاموش، آری یا نه، درست یا غلط، و یا کد گذاری توسط یک سوئیچ یا کلید.

یک بیت به تنهایی قادر است تنها دو مقدار را نشان دهد در حالیکه، رشته ای از بیت ها ممکن است برای نمایش مقادیر بزرگتر استفاده شود. به عنوان مثال، یک رشته از بیت ها به طول سه می تواند تا هشت (دو به توان سه) مقدار مجزا را همانطور که در جدول 1 نشان داده شده است نشان دهد.

با افزایش تعداد بیت های تشکیل دهنده یک رشته، تعداد ترکیب های ممکن 0 و 1 به صورت تصاعدی افزایش می یابد. یک بیت تنها دو مقدار را میتواند نمایش دهد، دو بیت می تواند چهار مقدار مجزا را ایجاد کند، سه بیت هشت مقدار مجزا و ... . که با فرمول 2^n افزایش می یابد. مقدار ترکیبات ممکن با اضافه شدن هر رقم باینری همانطور که در جدول 2 نشان داده شده است، دو برابر می شود.

گروه‌بندی‌هایی با تعداد بیت‌های خاص برای نمایش چیزهای مختلف و دارای نام‌های خاص استفاده می‌شوند.

یک بایت یک رشته بیت است که شامل تعداد بیت های مورد نیاز برای نمایش یک کاراکتر است. در بیشتر کامپیوترهای مدرن، این یک رشته شامل هشت بیت است. از آنجایی که تعریف بایت به تعداد بیت های تشکیل دهنده یک کاراکتر مربوط می شود، برخی از کامپیوترهای قدیمی از طول بیت متفاوتی برای بایت خود استفاده کرده اند. در بسیاری از معماری‌های کامپیوتری ، بایت کوچک‌ترین واحد آدرس‌پذیر است. برای مثال پردازنده های 64 بیتی ممکن است در یک زمان شصت و چهار بیت حافظه را آدرس دهی کنند، اما امکان دارد آن حافظه را به قطعات هشت بیتی تقسیم کنند. این حافظه آدرس پذیر بایت نامیده می شود. از لحاظ تاریخی، بسیاری از CPU ها داده ها را در مضربی از هشت بیت می خوانند. از آنجایی که اندازه بایت هشت بیت بسیار رایج است، اما تعریف استاندارد نشده است، اصطلاح octet گاهی اوقات برای توصیف یک دنباله هشت بیتی استفاده می شود.

یک نیبل (گاهی اوقات nybble )، یک عدد است که که از چهار بیت تشکیل شده است. به عنوان یک نیم بایت ، نیبل به عنوان بازی با کلمات نامگذاری می شود.

نمایش اعداد اکتال و هگزادسیمال

رمزگذاری اکتال و هگزادسیمال راه های مناسبی برای نمایش اعداد باینری هستند، همانطور که توسط رایانه ها استفاده می شود. مهندسان کامپیوتر اغلب نیاز به نوشتن مقادیر باینری دارند، اما در عمل نوشتن یک عدد باینری مانند 1001001101010001 خسته کننده و مستعد خطا است. بنابراین، کمیت های باینری در قالب اعداد در مبنای هشت، یا "اکتال"، یا به طور معمول، پایه 16، "هگزادسیمال" ( هگز ) نوشته می شوند. در سیستم دهدهی، 10 رقم از 0 تا 9 وجود دارد که با هم ترکیب می شوند و اعداد را تشکیل می دهند. در یک سیستم هشتی فقط 8 رقم از 0 تا 7 وجود دارد. یعنی مقدار اکتال "10" همان عدد اعشاری "8" است، یک اکتال "20" یک اعشار "16" و غیره. در یک سیستم هگزادسیمال، 16 رقم وجود دارد، 0 تا 9، و طبق توافق 6 رقم از A تا F. یعنی یک هگزادسیمال "10" همان رقم اعشاری "16" و یک هگزادسیمال "20" یکسان است. مثال و مقایسه اعداد در پایه های مختلف در نمودار زیر توضیح داده شده است.

هنگام تایپ اعداد، از کاراکترهای خاصی برای توصیف سیستم اعداد استفاده می شود، به عنوان مثال 000_0000B یا 0b000_00000 برای اعداد باینری و 0F8H یا 0xf8 برای اعداد هگزادسیمال.

تبدیل بین پایه ها

جدول 3: مقایسه مقادیر در مبانی مختلف

اعشاری	دودویی	هشتی	هگزادسیمال
0	000000	00	00
1	000001	01	01
2	000010	02	02
3	000011	03	03
4	000100	04	04
5	000101	05	05
6	000110	06	06
7	000111	07	07
8	001000	10	08
9	001001	11	09
10	001010	12	0A
11	001011	13	0B
12	001100	14	0C
13	001101	15	0D
14	001110	16	0E
15	001111	17	0F

  هر یک از این سیستم های اعداد یک سیستم موقعیتی هستند، اما در حالی که اوزان اعشاری توان های 10 هستند، اوزان هشتی توان های 8 و وزن های هگزا دسیمال توان های 16 هستند. مقدار رقم را با مقدار موقعیت آن و سپس نتایج را اضافه می کند. به طور مثال:

${\begin{aligned}&{\text{octal }}756\\[5pt]={}&(7\times 8^{2})+(5\times 8^{1})+(6\times 8^{0})\\[5pt]={}&(7\times 64)+(5\times 8)+(6\times 1)\\[5pt]={}&448+40+6\\[5pt]={}&{\text{decimal }}494\end{aligned}}\qquad {\begin{aligned}&{\text{hex }}\mathrm {3b2} \\[5pt]={}&(3\times 16^{2})+(11\times 16^{1})+(2\times 16^{0})\\[5pt]={}&(3\times 256)+(11\times 16)+(2\times 1)\\[5pt]={}&768+176+2\\[5pt]={}&{\text{decimal }}946\end{aligned}}$

نمایش کسرها به صورت دودویی

اعداد نقطه ثابت

قالب بندی نقطه ثابت می تواند برای نمایش کسری اعداد به صورت دودویی مفید باشد.

تعداد بیت های مورد نیاز برای دقت و محدوده مورد نظر باید برای ذخیره قسمت های کسری و صحیح یک عدد انتخاب شود. به عنوان مثال، با استفاده از فرمت 32 بیتی، 16 بیت برای عدد صحیح و 16 بیت برای کسری ممکن است استفاده شود.

بیت هشتم به دنبال آن بیت چهارم، سپس بیت دوم و سپس بیت یکم می آید. بیت های کسری الگوی تعیین شده توسط بیت های عدد صحیح را ادامه می دهند. بیت بعدی بیت نیمه، سپس بیت چهارم، سپس بیت ⅛ و غیره است. به طور مثال:

				بیت های اعشاری	بیت های صحیح
0.500	=	1/2	=	00000000 00000000.10000000 00000000
1.250	=	1+1/4	=	00000000 00000001.01000000 00000000
7.375	=	7+3/8	=	00000000 00000111.01100000 00000000

این شکل از رمزگذاری نمی تواند برخی از مقادیر را به صورت باینری نشان دهد. به عنوان مثال، کسری1/5 0.2 در اعشاری، نزدیک ترین تقریب می شود شرح زیر است:

13107 / 65536	=	00000000 00000000.00110011 00110011	=	0.1999969... به صورت اعشاری
13108 / 65536	=	00000000 00000000.00110011 00110100	=	0.2000122... به صورت اعشاری

حتی اگر ارقام بیشتری استفاده شود، نمایش دقیق غیرممکن است. شماره1/3 که به صورت اعشاری به صورت 0.333333333... نوشته می شود، به طور نامحدود ادامه می یابد.

اعداد اعشاری

در حالی که هر دو اعداد صحیح بدون علامت و علامت در سیستم های دیجیتال استفاده می شوند، حتی یک عدد صحیح 32 بیتی برای مدیریت طیف وسیعی از اعدادی که یک ماشین حساب می تواند انجام دهد، کافی نیست، و این فقط شامل کسر نمی شود. برای تقریب محدوده و دقت بیشتر اعداد حقیقی ، باید اعداد صحیح علامت دار و اعداد نقطه ثابت را کنار بگذاریم و به قالب " ممیز شناور " برویم.

در سیستم اعشاری، ما با اعداد ممیز شناور شکل ( نماد علمی ) آشنا هستیم:

1.1030402 × 10 ⁵ = 1.1030402 × 100000 = 110304.02

یا به طور خلاصه تر:

1.1030402E5

که به معنی "1.1030402 ضربدر 1 به دنبال 5 صفر است". ما یک مقدار عددی معین (1.1030402) داریم که به عنوان " ضریب " شناخته می شود، ضرب در توان 10 (E5، به معنای 10 ⁵ یا 100000)، که به عنوان " توان " شناخته می شود. اگر ما یک توان منفی داشته باشیم، به این معنی است که عدد در 1 چند مکان در سمت راست نقطه اعشار ضرب می شود. مثلا:

2.3434E − 6 = 2.3434 × 10 ^-6 = 2.3434 × 0.000001 = 0.0000023434

مزیت این طرح این است که با استفاده از توان می‌توانیم دامنه بسیار وسیع‌تری از اعداد را بدست آوریم، حتی اگر تعداد ارقام در معنادار یا «دقت عددی» بسیار کوچک‌تر از محدوده باشد. فرمت های باینری ممیز شناور مشابهی را می توان برای رایانه ها تعریف کرد. تعدادی از این طرح ها وجود دارد که محبوب ترین آنها توسط موسسه مهندسین برق و الکترونیک (IEEE) تعریف شده است. مشخصات استاندارد IEEE 754-2008 فرمت ممیز شناور 64 بیتی را با موارد زیر تعریف می کند:

• یک توان باینری 11 بیتی، با استفاده از فرمت "excess-1023". Excess-1023 به این معنی است که توان به صورت یک عدد صحیح باینری بدون علامت از 0 تا 2047 ظاهر می شود. با تفریق 1023 مقدار علامت دار واقعی به دست می آید
• یک معنادار 52 بیتی، همچنین یک عدد باینری بدون علامت، که یک مقدار کسری را با یک پیشرو ضمنی "1" تعریف می کند.
• یک بیت علامت، با دادن علامت عدد.

بیایید با دیدن اینکه یک عدد چگونه در 8 بایت حافظه ذخیره میشود متوجه شویم این فرمت چگونه است.

بایت 0	s	x10	x9	x8	x7	x6	x5	x4
بایت 1	x3	x2	x1	x0	m51	متر 50	m49	m48
بایت 2	m47	m46	m45	m44	m43	m42	m41	m40
بایت 3	m39	m38	m37	m36	m35	m34	m33	m32
بایت 4	m31	m 30	m29	m28	m27	m26	m 25	m24
بایت 5	m23	m22	m21	m 20	m19	m18	m17	m16
بایت 6	m15	m14	m13	m12	m11	m10	m9	m8
بایت 7	m7	m6	m5	m4	m3	m2	m1	m0

که در آن "S" نشان دهنده بیت علامت، "x" نشان دهنده یک بیت توان و "m" نشان دهنده یک بیت معنادار است. هنگامی که بیت های اینجا استخراج شدند، با محاسبه زیر تبدیل می شوند:

<sign> × (1 + <fractional significand>) × 2^{<exponent> − 1023}

این طرح اعداد معتبر تا حدود 15 رقم اعشاری را با دامنه اعداد زیر ارائه می دهد:

	بیشترین	کمترین
مثبت	1.797693134862231E+308	4.940656458412465E-324
منفی	-4.940656458412465E-324	-1.797693134862231E+308

این مشخصات همچنین چندین مقدار خاص را تعریف می‌کند که اعداد تعریف‌شده نیستند و به عنوان NaNs شناخته می‌شوند، مخفف شده ی "ٔNot A Number". اینها توسط برنامه ها برای تعیین عملیات نامعتبر و موارد مشابه استفاده می شود.

برخی از برنامه ها از اعداد ممیز شناور 32 بیتی نیز استفاده می کنند. متداول ترین طرح از یک معنادار 23 بیتی با یک بیت علامت، به اضافه یک توان 8 بیتی در قالب "excess-127" استفاده می کند که هفت رقم اعشاری معتبر را ارائه می دهد.

بایت 0	s	x7	x6	x5	x4	x3	x2	x1
بایت 1	x0	m22	m21	m 20	m19	m18	m17	m16
بایت 2	m15	m14	m13	m12	m11	m10	m9	m8
بایت 3	m7	m6	m5	m4	m3	m2	m1	m0

بیت ها با محاسبه زیر به یک مقدار عددی تبدیل می شوند:

sign> × (1 + <fractional significand>) × 2^{<exponent> − 127>}

منجر به محدوده اعداد زیر می شود:

	بیشترین	کمترین
مثبت	3.402823E+38	2.802597E-45
منفی	-2.802597E-45	-3.402823E+38

چنین اعداد ممیز شناور به طور کلی به عنوان "واقعی" یا "شناور" شناخته می شوند، اما با تعدادی تغییرات:

مقدار شناور 32 بیتی گاهی اوقات "real32" یا "single" نامیده می شود که به معنای "مقدار ممیز شناور با دقت یکتا" است.

یک شناور 64 بیتی گاهی اوقات "real64" یا "double" نامیده می شود که به معنای "مقدار ممیز شناور با دقت دوگانه" است.

رابطه بین اعداد و الگوهای بیت برای راحتی در کار های رایانه انتخاب شده است. هشت بایت ذخیره شده در حافظه کامپیوتر ممکن است نشان دهنده یک real64 بیتی، دو عدد real32 بیتی، یا چهار عدد صحیح علامت دار یا بدون علامت، یا نوع دیگری از داده ها باشد که در هشت بایت قرار می گیرند. تنها تفاوت این است که چگونه کامپیوتر آنها را تفسیر می کند. اگر رایانه چهار عدد صحیح بدون علامت را ذخیره می کرد و سپس آنها را از حافظه به عنوان واقعی 64 بیتی می خواند، تقریباً همیشه یک عدد واقعی کاملاً معتبر خواهد بود، اگرچه داده های ناخواسته است.

فقط یک بازه محدود از اعداد خقیقی را می توان با تعداد مشخصی از بیت ها نشان داد. عملیات حسابی می تواند سرریز یا زیر سرریز شود و مقداری را تولید کند که به دلیل اینکه خیلی بزرگ یا خیلی کوچک هست . قابل نمایش نیست.

نمایش دقت محدودی دارد. به عنوان مثال، تنها 15 رقم اعشاری را می توان با واقعی 64 بیتی نشان داد. اگر یک عدد ممیز شناور بسیار کوچک به عدد بزرگ اضافه شود، نتیجه فقط عدد بزرگ است. عدد کوچک آنقدر کوچک بود که حتی با وضوح 15 یا 16 رقمی نشان داده نمی شد و کامپیوتر عملاً آن را کنار می گذارد. تجزیه و تحلیل اثر دقت محدود یک مسئله به خوبی مطالعه شده است. برآورد بزرگی خطاهای دور کردن و روش‌هایی برای محدود کردن تأثیر آنها بر محاسبات بزرگ، بخشی از هر پروژه محاسباتی بزرگ است. حد دقت با حد دامنه متفاوت است، زیرا بر ضریب علمی تأثیر می‌گذارد، نه توان.

ضریب علمی یک کسر باینری است که لزوماً با کسر اعشاری مطابقت ندارد. در بسیاری از موارد مجموع توانهای متقابل 2 با کسر اعشاری خاصی مطابقت ندارد و نتایج محاسبات کمی کاهش می یابد. به عنوان مثال، کسر اعشاری "0.1" معادل یک کسر باینری بی نهایت تکراری است: 0.000110011. . .

اعداد در زبان های برنامه نویسی

برنامه نویسی به زبان اسمبلی به برنامه نویس نیاز دارد که نمایش اعداد را پیگیری کند. در مواردی که پردازنده از عملیات ریاضی مورد نیاز پشتیبانی نمی کند، برنامه نویس باید یک الگوریتم و دنباله دستورالعمل مناسب را برای اجرای عملیات ایجاد کند. در برخی از ریزپردازنده ها، حتی ضرب اعداد صحیح باید در نرم افزار انجام شود.

زبان‌های برنامه‌نویسی سطح بالا مانند Ruby و Python یک عدد انتزاعی را ارائه می‌دهند که ممکن است یک نوع توسعه‌یافته مانند rational ، bignum یا complex باشد. عملیات ریاضی توسط روال های کتابخانه ای که توسط پیاده سازی زبان ارائه می شود انجام می شود. یک نماد ریاضی داده شده در کد منبع، با بارگذاری بیش از حد اپراتور ، کد شی متفاوتی را که برای نمایش نوع عددی مناسب است فراخوانی می کند. عملیات ریاضی روی هر عددی - اعم از علامت دار، بدون علامت، گویا، ممیز شناور، نقطه ثابت، انتگرال یا مختلط - دقیقاً به همین ترتیب نوشته می شود.

برخی از زبان‌ها، مانند REXX و جاوا ، عملیات ممیز شناور اعشاری را ارائه می‌کنند که خطاهای گرد کردن به شکل متفاوتی را ارائه می‌کنند.

همچنین ببینید

• محاسبات با دقت دلخواه
• اعشاری با کد دودویی
• سیستم اعداد باینری
• کد خاکستری
• سیستم اعداد

یادداشت ها و مراجع

The initial version of this article was based on a public domain article from Greg Goebel's Vectorsite.