توان (ریاضی)

عملیات ریاضی

توان یک عملیات ریاضی است که به صورت نوشته می‌شود. این عملیات به صورت به توان خوانده می‌شود و در آن به‌عنوان پایه و به عنوان توان، نِما[۱] یا قوه (کاربرد قدیمی) شناخته می‌شوند. هنگامی که یک عدد صحیح مثبت باشد، عملیات توان معادل بار ضرب در خود است:

نمودار توان
نمودار به ازای پایه‌های مختلف :   پایهٔ ۱۰،   پایهٔ عدد اویلر،   پایهٔ ۲،   پایهٔ ۰٫۵. تمام منحنی‌ها از نقطه (0, 1) می‌گذرند، زیرا حاصل هر عدد غیر صفر به توان ۰ برابر با ۱ است. همچنین در مقدار در هر منحنی معادل پایه است، زیرا حاصل هر عدد به توان ۱ برابر با خود آن عدد خواهد بود.

به این ترتیب و برای هر دو عدد صحیح مثبت و می‌توان نوشت . همچنین با بسط تعریف عملیات به توان‌های صحیح غیرمثبت، معادل تعریف می‌شود و ( مثبت و غیر صفر) معادل خواهد بود. به‌طور خاص معادل یا وارون ضربی است.

با گسترش تعریف توان، می‌توان هر عدد حقیقی یا مختلط را به عنوان نما استفاده کرد. همچنین توان‌های صحیح را می‌توان به ساختارهای دیگر جبری (برای مثال ماتریس‌ها) اعمال کرد.

عملیات توان در بسیاری از علوم دیگر از جمله در اقتصاد، زیست‌شناسی، شیمی، فیزیک و علوم رایانه و بار کاربردهایی مانند بهره مرکب، رشد جمعیت، سینتیک شیمیایی، رفتار موجی و رمزنگاری کلید عمومی مورد استفاده قرار می‌گیرد.

مربع یک عدد مثل x اشاره دارد به عددی مانند y که y=x² و در آن توان ایکس برابر دو است. مکعب یک عدد مثل x اشاره دارد به عددی مانند y که y=x³ و در آن توان ایکس برابر سه است.

اگر رادیکال بافرجه۲باشد پس از جذر کمک می‌گیریم یعنی ریشه‌گیری می‌کنیم

  • 'توان عدد (یعنی ازیک فرجه گسترش پیداکرده ]][[ (۲×۴)۱۲ دراین‌باره توان مشخص نیست از جذر۲ریشه گرفته می‌شود

نماهای صحیح مثبت

ویرایش

ساده‌ترین نوع توان، با نماهای صحیح مثبت است. نما بیانگر این است که پایه چند بار باید در خود ضرب شود. برای مثال سه به توان پنج = ۳ × ۳ × ۳ × ۳ × ۳ = ۲۴۳. در اینجا ۳ پایه و ۵ نما است، و ۲۴۳ برابر است با ۳ به توان ۵. عدد ۳، پنج بار در خودش ضرب می‌شود چون نما برابر ۵ است.

به‌طور قراردادی، a2 = a×a را مربع، a3 = a×a×a را مکعب می‌نامیم؛ مثلاً 32 «مربع سه» و 33 «مکعب سه» خوانده می‌شوند.

اولین توان را می‌توانیم به صورت a0 = ۱ و سایر توان‌ها را به صورت an+1 = a·an بنویسیم. اگر شکل مکعبی یا مستطیل به شما بدهد پس از فرمول (یک ضلع×خودش) استفاده شود. به گونه ای که برای ضلع‌های برابر توان۲در نظر می‌گیریم

نماهای صفر و یک

ویرایش

35 را می‌توان به صورت ۳ × ۳ × ۳ × ۳ × ۳ هم نوشت، عدد یک را می‌توان چندین بار در عبارت مورد نظر ضرب کرد، زیرا در عمل ضرب عدد یک تفاوتی در جواب ایجاد نمی‌کند و همان جواب گذشته را می‌دهد. با این تعریف، می‌توانیم آن را در توان صفر و یک هم استفاده کنیم:

  • هر عدد به توان یک برابر خودش است.

a1 = a

  • هر عدد به توان صفر برابر با یک است.

a0 = 1

(برخی نویسندگان 00 را تعریف نشده می‌خوانند) برای مثال: a0= a2-2= a2/a2 = ۱ (در صورتی که a ≠ ۰)

نماهای صحیح منفی

ویرایش

اگر عددی غیرمنفی را به توان ۱- برسانیم، حاصل برابر معکوس آن عدد است.

a−1 = 1/a

در نتیجه:

an = (an)−1 = 1/an

اگر صفر را به توان عددی منفی برسانیم، حاصل در مخرجشخطای یادکرد: خطای یادکرد: برچسب تمام کنندهٔ </ref> بدون برچسب <ref> (). ]]</ref> صفر دارد و تعریف نشده‌است. توان منفی را می‌توان به صورت تقسیم مکرر پایه هم نشان داد؛ یعنی ۵-۳ = ۱ ÷ ۳ ÷ ۳ ÷ ۳ ÷ ۳ ÷ ۳ = ۱/۲۴۳ = 5-3/ 1.

مهم‌ترین خاصیت توان با نماهای صحیح عبارتست از:

که از آن می‌توان عبارات زیر را نتیجه گرفت:

از آنجایی که جمع و ضرب خاصیت جابجایی دارند (برای مثال ۲+۳ = ۵ = ۳+۲ و ۲×۳ = ۶ = ۳×۲) توان دارای خاصیت جابجایی نیست: 23 = ۸ است در حالی که 32 = ۹. همچنین جمع و ضرب دارای خاصیت انجمنی هستند (برای مثال (۲+۳)+۴ = ۹ = ۲+(۳+۴) و (۲×۳)×۴ = ۲۴ = ۲×(۳×۴)) توان باز هم دارای این خاصیت نیست: 23 به توان چهار برابر است با 84 یا ۴۰۹۶، در حالی که ۲ به توان 34 برابر است با 281 یا ۲٬۴۱۷٬۸۵۱٬۶۳۹٬۲۲۹٬۲۵۸٬۳۴۹٬۴۱۲٬۳۵۲. البته اعداد ۲ و ۴ در توان خاصیت جابجایی دارند چون (۱۶=۲^۴=۴^۲)

توان‌های ده

ویرایش

در سیستم مبنای ده، محاسبه توان‌های ده بسیار راحت است: برای مثال 106 برابر است با یک میلیون، که با قرار دادن ۶ صفر در جلوی یک به دست می‌آید. توان با نمای ده بیشتر در علم فیزیک برای نشان دادن اعداد بسیار بزرگ یا بسیار کوچک به صورت نماد علمی کاربرد دارد؛ نمونه را، ۲۹۹۷۹۲۴۵۸ (سرعت نور با یکای متر بر ثانیه) را می‌توان به صورت ۲٫۹۹۷۹۲۴۵۸ × 108 نوشت و به صورت تخمینی به شکل ۲٫۹۹۸ × 108. پیشوندهای سیستم متریک هم برای نشان دادن اعداد بزرگ و کوچک استفاده می‌شوند و اصل این‌ها هم بر توان ۱۰ استوار است. نمونه را پیشوند کیلو یعنی 103 = ۱۰۰۰، پس یک کیلومتر برابر ۱۰۰۰ متر است.

توان‌های عدد دو

ویرایش

توان‌های عدد دو نقش بسیار مهمی در علم رایانه دارند چون در کامپیوتر مقادیر را می‌توان برای یک متغیر هر عدد بیتی درنظر گرفت.

توان‌های منفی دو هم استفاده می‌شوند، و به دو توان اول نصف و ربع می‌گویند.

توان‌های عدد صفر (۰)

ویرایش

اگر توان صفر مثبت باشد، حاصل عبارت برابر خود صفر است:.

اگر توان صفر منفی باشد، حاصل عبارت تعریف نشده‌است، زیرا تقسیم بر صفر وجود ندارد.

اگر توان یک عدد صفر باشد، حاصل عبارت برابر یک است:.

(بعضی از نویسندگان می‌گویند که تعریف نشده‌است)

توان‌های منفی یک

ویرایش

توان‌های منفیِ یک بیشتر در دنباله‌های تناوبی کاربرد دارد.

اگر نمای عددِ منفیِ یک، فرد باشد، حاصل آن برابر خودش است:

اگر نمای عددِ منفیِ یک، زوج باشد، حاصل آن برابر یک است:

توان‌های

ویرایش

توان‌های در دنباله‌های با دورهٔ ۴ کاربرد دارند.

در مختصات قرارگرفته شود و اگر شیب خط برابر صفر باشد یا نیم‌خط متقارن یا تابع درجه اول باشد توان عدد شیب خط ریشه‌گیری شود و اگر توان رادیکالی باشد فرجه۲درنظرگرفته شود

توان‌هایEعدد eEحد دنباله‌ای با توان صحیح است

ویرایش

.

و تقریباً داریم:

.

یک توان صحیح غیر صفر e برابر است با:

x می‌تواند عددی مانند صفر، کسر، عدد مرکب، یا یک ماتریس مربع باشد.

توان‌های اعداد حقیقی مثبت

ویرایش

به توان رساندن عددی حقیقی مثبت به توان یک عدد غیرصحیح را می‌توان به چند صورت به دست آورد:

  • عددی کسری تعریف کنیم و ریشه nام را به دست بیاوریم. این روشی است که در مدرسه‌ها از آن استفاده می‌کنند.
  • لگاریتم طبیعی تعریف کنیم و سطح زیر نمودار 1/x را به دست بیاوریم.

توان‌های کسری

ویرایش
 
از بالا به پائین: x1/8, x1/4, x1/2, x1, x2, x4, x8.

در یک توان، با معکوس کردن نما ریشه آن به‌دست می‌آید. اگر   عدد حقیقی مثبت و n عددی صحیح مثبتی باشد، داریم:

 

و ریشه nام   نامیده می‌شود:

 

برای مثال: 81/3 = ۲. حالا می‌توانیم توان   را به صورت زیر تعریف کنیم:

aبه توان n/m مساوی است با ریشهٔ a بافرجهm به توان

برای مثال: 82/3 = ۴.

توان‌های مرکب اعداد مرکب

ویرایش

خلاصه

ویرایش

توان‌های صحیح اعداد مرکب به صورت بازگشتی تعریف می‌شود:

z0 = 1 zn+1 = z·zn zn = 1/zn (برای z ≠ 0)

توان‌های مرکب عدد e به صورت زیر تعریف می‌شود:

 

و توان مرکب یک عدد مرکب برابر است با:

az = ebz

اگر:

a = eb

مثلثات

ویرایش

توان‌های مبهم یک تابع مثلثاتی سینوس و کسینوس برابر است با:

   

مانند:

   

معادله لگاریتم

ویرایش

عدد حقیقی مثبت π وجود دارد که با استفاده از آن می‌توان معادله ez = ۱ را به صورت z = ۲πi·n حل نمود.

حالت قطبی

ویرایش

هر عدد مرکب به شکل   را می‌توان به این صورت نوشت:

 

برای یک مقدار حقیقی مثبت   و یک کمان   می‌توانیم از فرمول اویلر برای   استفاده کنیم:

 

حال می‌توانیم یک بار دیگر از فرمول اویلر استفاده کنیم، در این صورت به جای e می‌نویسیم:  . در نتیجه داریم:

 

حال اگر از   استفاده کنیم می‌توانیم بنویسیم:

 

 

این مقدار اصلی   اما می‌توانیم برای هر عدد صحیح n آن را به صورت   بنویسیم، که نتیجه به صورت زیر است:

 

جدول توان

ویرایش

جدول kn، k در سمت چپ و n در بالای جدول است.

n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
k^ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1.024 2
3 3 9 27 81 243 729 2.187 6.561 19.683 59.049 3
4 4 16 64 256 1.024 4.096 16.384 65.536 262.144 1.048.576 4
5 5 25 125 625 3.125 390٬625 78.125 78.125 1.953.125 9.765.625 5
6 6 36 216 1.296 7.776 46.656 279.936 1.679.616 10.077.696 60.466.176 6
7 7 49 343 2.401 16.807 117.649 823.543 5.764.801 40.353.607 282.475.249 7
8 8 64 512 4.096 32.768 262.144 2.097.152 16.777.216 134.217.728 1.073.741.824 8
9 9 81 729 6.561 59.049 531.441 4.782.969 43.046.721 387.420.489 3.486.784.401 9
10 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000 10.000.000.000 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n

ضرب اعداد توان دار

ویرایش

۲ حالت ممکن است برای ضرب اعداد توان دار رخ دهد:

  1. پایه‌ها برابر
  2. توان‌ها برابر

پایه‌ها برابر

ویرایش

برای اینکار یکی از پایه‌ها را نوشته و توان‌ها را جمع می‌کنیم:

 

توان‌ها برابر

ویرایش

برای اینکار یکی از توان‌ها را نوشته و پایه‌ها را در هم ضرب می‌کنیم.

 

تقسیم اعداد توان دار

ویرایش

۲ حالت ممکن است برای تقسیم اعداد توان دار رخ دهد:

  1. پایه‌ها برابر
  2. توان‌ها برابر

پایه‌ها برابر

ویرایش

برای اینکار یکی از پایه‌ها را نوشته و توان‌ها را کم می‌کنیم:

 

توان‌ها برابر

ویرایش

برای اینکار یکی از توان‌ها را نوشته و پایه‌ها را برهم تقسیم می‌کنیم.

 

جذر گرفتن از اعداد توان‌دار

ویرایش

برای محاسبه جذر اعداد توان‌دار مثل   کافی است توان   را بر فرجه تقسیم کنیم.

 ۲/۱۲

نماد علمی

ویرایش

نماد علمی، روشی‌ست برای نوشتن اعدادی که خیلی بزرگ یا خیلی کوچک‌ند و نمی‌توان به سادگی آن‌ها را در نماد ده‌دهی نوشت. این نماد به صورت دیجیتال معمولاً با e نمایش داده می‌شود. استفاده از نماد علمی در ماشین‌حساب‌های علمی و توسط دانشمندان، ریاضی‌دانان، متخصصین سلامت و مهندسان رایج است.

جستارهای وابسته

ویرایش

مبحث ضرب اعداد توان‌دار

منابع

ویرایش
  1. «نما» [ریاضی] هم‌ارزِ «exponent»؛ منبع: گروه واژه‌گزینی. جواد میرشکاری، ویراستار. دفتر پنجم. فرهنگ واژه‌های مصوب فرهنگستان. تهران: انتشارات فرهنگستان زبان و ادب فارسی. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۷۵۳۱-۷۶-۴ (ذیل سرواژهٔ نما1)

پیوند به بیرون

ویرایش
عملیات دوتایی
عددی تابعی مجموعه‌ای ساختاری
مقدماتی

+ جمع
تفریق
× ضرب
÷ تقسیم
^ توان

حسابی

div خارج قسمت اقلیدسی
mod باقی‌مانده اقلیدسی
بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک
کوچک‌ترین مضرب مشترک

ترکیباتی

() ضریب دوجمله‌ای
P جایگشت
C ترکیب

ترکیب
کانولوشن
جبر مجموعه‌ها

اجتماع
\ متمم نسبی
اشتراک
Δ تفاضل متقارن

ترتیب کلی

min کمینه
max بیشینه

توری‌ها

کرانه تحتانی
کرانه فوقانی

مجموعه‌ها

× ضرب دکارتی
اجتماع منفصل
^ توان مجموعه‌ای

گروه‌ها

حاصل‌جمع مستقیم
حاصل‌ضرب آزاد
produit en couronne

مدول‌ها

ضرب تانسوری
Hom هومومورفیزم
Tor پیچش
Ext extensions

درخت‌ها

enracinement

واریته‌های متصل

# جمع متصل

فضاهای نقطه‌دار

bouquet
smash produit
joint

بُرداری
(.) ضرب اسکالر
ضرب برداری
جبری
[,] کروشه لی
{,} کروشه پواسون
ضرب خارجی
هومولوژی
cup-produit
حاصل‌ضرب اشتراک
ترتیبی
+ الحاق
منطق بولی
عطف منطقی فصل منطقی یای انحصاری استلزام منطقی اگر و فقط اگر