پیش‌نویس:وشکسانی غیر عادی(عجیب و غریب)

مقدمه

در سیال های معمولی ، وشکسانی (گران‌روی) خاصیتی از سیال است که سعی در از بین بردن جریان ها ی ایجاد شده در سیال دارد که با ایجاد چرخش های موضعی باعث ایجاد اتلاف انرژی در سیال می شود. ولی در برخی سیالات ممکن است یک نوع وشکسانی وجود داشته باشد که باعث اتلاف انرژی در سیال نمیشود و یک نوع تنش اضافی در سیال ایجاد میکند که باعث ایجاد جریان جدید در سیال میشود، این نوع وشکسانی را ، وشکسانی غیر عادی میگویند که مخصوصا در سیالات زیستی مولفه مهمی است که سیستم های زیستی مختلفی را تحت تاثیر قرار داده و آنها را سازماندهی میکند ، از این رو مطالعه این نوع سیالات علاوه بر جذابیت نظری ، راهگشای بسیاری از سوالات جدید در علوم مختلف شده و در آینده در علوم مهندسی و ساخت ابزار مهندسی و پیشبرد فناوری موثر خواهد بود.

تعریف

بطور کلی میتوان سیال را تحت یک تنش خارجی مورد مطالعه قرار داد که برای این منظور باید رابطه بین تنش و نرخ کرنش سیال را مورد بررسی قرار داد که در سیالات نیوتونی یک رابطه خطی بین تنش و نرخ کرنش وجود دارد که این دو کمیت را یک تانسور مرتبه چهار به یکدیگر مرتبط میکند

$\sigma _{ij}=\eta _{ijlm}{\dot {u}}_{lm}$

در رابطه بالا $\sigma _{ij}$ نمایانگر تانسور تنش مرتبه دو ، $\eta _{ijlm}$ نمایانگر تانسور وشکسانی مرتبه چهار و ${\dot {u}}_{lm}$ نمایانگر تانسور نرخ کرنش مرتبه دو است. که دارای خواص تقارنی زیر هستند.

$\sigma _{ij}=\sigma _{ji}\quad ,{\dot {u}}_{lm}={\dot {u}}_{ml}\quad \eta _{ijlm}=\eta _{lmij}$

همانطور که در بالا مشخص است تانسور وشکسانی در سیالات معمولی نسبت به جایگشت جفت اندیس اول و آخر یک تانسور متقارن است . به عبارت دیگر بخش پاد متقارن تانسور وشکسانی در سیالات معمولی برابر صفر است.

اگر یک سیال دارای وشکسانی غیر عادی باشد در این حالت تانسور وشکسانی میتواند بخش پادمتقارن باشد بنابراین میتوان آن را به دو بخش متقارن و پادمتقارن تقسیم کرد.

${\bar {\eta }}_{ijlm}=\eta _{ijlm}^{S}+\eta _{ijlm}^{O}$

جمله اول در رابطه بالا مربوط به بخش متقارن (وشکسانی عادی) و جمله دوم مربوط به وشکسانی غیر عادی (Odd)و پادمتقارن است یعنی $\eta _{ijlm}^{O}=-\eta _{lmij}^{O}$ .

معاله ناویه-استوکس با ویسکوزیته غیر عادی

میتوان معادله ناویه-استوکس را علاوه بر سیالات متعارف ، برای سیالات با ویسکوزیته غیر عادی نیز تعمیم داد.

معادله ناویه-استوکس با ویسکوزیته غیر عادی در دوبعد

برای یک سیال تراکم ناپذیر ($\nabla .{\boldsymbol {v}}=0$) میتوان معادله ناویه استوکس را بصورت زیر نوشت،

$\rho D_{t}{\boldsymbol {v}}=-\nabla p+\eta ^{S}\Delta {\boldsymbol {v}}+\eta ^{O}{\boldsymbol {\epsilon }}.\Delta {\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {f}}$

در رابطه بالا ، $D_{t}$ مشتق هموردا ($D_{t}={\frac {\partial }{\partial t}}+{\boldsymbol {v}}.\nabla$) است. و ${\boldsymbol {\epsilon }}$ برداری است که مولفه هایش توسط نماد لوی-چیویتا در دوبعد مشخص میشود. و ${\boldsymbol {f}}$ نیروی خارجی است.