ابربیضی که به یاد گابریل لامه با نام منحنی لامه نیز شناخته می‌شود، منحنی بسته‌ای مشابه بیضی است که جنبه‌های هندسی آن شامل نیم‌قطر بزرگ، نیم‌قطر کوچک و تقارن حول آنها را حفظ می‌کند، ولی شکل کلی متفاوتی دارد.

نمونه هایی از ابربیضی با

در دستگاه مختصات دکارتی، مجموعه نقاط روی منحنی معادلهٔ زیر را ارضا می‌کنند:

که در آن n و a و b اعدادی مثبت هستند و خط‌های عمودی پیرامون یک عدد، قدر مطلق آن را نشان می‌دهند.

موارد ویژهویرایش

این فرمول به تعریف منحنی بسته‌ای می‌پردازد که در مستطیلی به ابعاد 2a و 2b محاط است. پارامترهای a و b را نیم‌قطرهای منحنی می‌نامند.

  ابربیضی شبیه ستارهٔ چهارپر با اضلاع مقعر است.

در حالت خاص n = ۱/۲، هر یک از چهار کمان بخشی از سهمی است.

 
ابربیضی با n = ½, a = b = 1
  منحنی متوازی‌الأضلاعی با رأس‌های (‎±a, 0) و (‎0, ±b) است.
  منحنی شبیه متوازی‌الأضلاعی با همان رئوس ولی با اضلاع محدب است. با نزدیک شدن به نقاط انتهایی، انحنا افزایش می یابد و حد ندارد.
 
ابربیضی با n = 3⁄2, a = b = 1
  منحنی به صورت بیضی معمولی است (در حالت خاص اگر a = b باشد تبدیل به دایره می‌شود).
  منحنی شکلی شبیه مستطیل با لبه‌های گرد پیدا می‌کند. در نقاط (‎±a, 0) و (‎0, ±b) انحنا برابر صفر است.
 
ابربیضی با n = 4, a = b = 1

ویژگی‌های ریاضیویرایش

اگر n عدد گویای مثبتی به شکل p/q باشد، هر ربع ابربیضی منحنی جبری از مرتبهٔ pq است.[۱] در حالت خاص ‎a=b=۱ و n زوج، منحنی فرما از درجهٔ n خواهد بود. اگر صورت کسر زوج نباشد، منحنی از اجزای منحنی جبری مشابهی در راستاهای مختلف تشکیل می‌شود.

می توان منحنی را با معادلات پارامتری زیر (که پارامتر t تفسیر هندسی ندارد) توصیف کرد:

 

به ازای هر مقدار t چهار نقطه روی منحنی مشخص می‌شود. معادل آن می‌توان برای t در بازهٔ   تعریف کرد:

 

که در آن تابع علامت به صورت زیر تعریف می‌شود:

 

می توان مساحت ابربیضی را برحسب تابع گاما بیان کرد:

 

جستارهای وابستهویرایش

منابعویرایش

  1. For a derivation of the algebraic equation in the case where n = 2/3, see p. 3 of http://xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/Astroid_dir/astroid.pdf.

پیوند به بیرونویرایش

  • Sokolov, D.D. (2001), "Lamé curve", in Hazewinkel, Michiel, دائرة المعارف ریاضیات, اشپرینگر ساینس+بیزینس مدیا, ISBN 978-1-55608-010-4
  • "Lamé Curve" at MathCurve.
  • Weisstein, Eric W. "Superellipse". MathWorld.
  • O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Lame Curves", بایگانی تاریخچه ریاضیات مک‌تیوتر, دانشگاه سنت اندروز.
  • "Super Ellipse" on 2dcurves.com
  • Superellipse Calculator & Template Generator
  • C code for fitting superellipses